2つの円の共通接線に囲まれた部分の面積＋おまけ

前回のおまけです。
面積をいろいろ求めてみました。途中式は省略しています。

2円と共通内接線に囲まれた部分の面積

点 $\text{O}(0,\ 0),\ \text{P}(p,\ q)$ を中心とした半径 $r_1,\ r_2$ の2円について，下の[図 1]の水色の部分の面積 $S$ は次の式で表されます。

${ \displaystyle S = ({r_1}^2+{r_2}^2) \left( \frac{\sqrt{p^2+q^2-(r_1+r_2)^2}}{r_1+r_2}-\cos^{-1}{\frac{r_1+r_2}{\sqrt{p^2+q^2}}} \right) }$

ここで， $\cos^{-1}$ は値域を $\lbrack 0, \pi \rbrack$ とする $\cos$ の逆関数です。

f:id:hge:20160210125206p:plain

[図 1]

2円と共通外接線に囲まれた部分の面積

点 $\text{O}(0,\ 0),\ \text{P}(p,\ q)$ を中心とした半径 $r_1,\ r_2$ の2円があります。ただし $r_1 > r_2$ であるとします。

このとき下の[図 2]の水色の部分の面積 $S$ は次の式で表されます。

${ \begin{align*} \displaystyle S &= {r_1}^2 \left( \frac{\sqrt{p^2+q^2-(r_1-r_2)^2}}{r_1-r_2}-\cos^{-1}{\frac{r_1-r_2}{\sqrt{p^2+q^2}}} \right) - \pi {r_2}^2 \\ \displaystyle &= {r_1}^2 \left( \frac{\sqrt{p^2+q^2-(r_1-r_2)^2}}{r_1-r_2}+\cos^{-1}{\frac{r_2-r_1}{\sqrt{p^2+q^2}}} \right) - \pi({r_1}^2+{r_2}^2) \\ \end{align*} }$

f:id:hge:20160305111838p:plain

[図 2]

2円の共通接線の接点間の距離

これは三平方の定理で簡単に求められます。

f:id:hge:20160213170456p:plain

[図 3]

まずは共通内接線の接点間の距離 $d_i$ を求めます。

[図 3]の左のように点 $Q$ をとります。

図より，接点間の距離は $QP$ と等しいので $OP = \sqrt{p^2+q^2},\ OQ = r_1+r_2$ から

$d_i = QP = \sqrt{p^2+q^2-(r_1+r_2)^2}$

を得ます。

次は共通外接線の接点間の距離 $d_e$ を求めます。

[図 3]の右のように点 $Q$ をとります。

図より，接点間の距離は $QP$ と等しいので $OP = \sqrt{p^2+q^2},\ OQ = |r_1-r_2|$ から

$d_e = QP = \sqrt{p^2+q^2-(r_1-r_2)^2}$

を得ます。

前回でもよく登場したこの値は接点間の距離だったのだ！

円外の点から引いた接線

実は円 $C_2$ の半径を $r_2=0$ とすることで $C_2$ の中心 $(p,\ q)$ から円 $C_1$ へ引いた接線の方程式を求めることができます。

[前回の記事]における接点 $(\alpha,\ \beta)$ の解に $r_2=0$ を代入し， $r_1$ を $r$ と書き直せば

${ \begin{cases} \displaystyle \alpha = \frac{pr^2 \pm qr \sqrt{p^2+q^2-r^2}}{p^2+q^2} \\ \displaystyle \beta = \frac{qr^2 \mp pr \sqrt{p^2+q^2-r^2}}{p^2+q^2} \end{cases} }$

となり，中心 $(0,\ 0)$ ，半径 $r$ の円へ点 $(p,\ q)$ から引いた接線の方程式は $\alpha x+\beta y=r^2$ です。

また，中心 $(x_1,\ y_1)$ ，半径 $r$ の円へ点 $(x_2,\ y_2)$ から引いた接線の方程式は $p=x_2-x_1,\ q=y_2-y_1$ として上の式に代入して求めた $\alpha,\ \beta$ を用いて $\alpha (x-a)+\beta (y-b)=r^2$ で与えられます。

おまけ

2円 $C_1,\ C_2$ に共通接線が合計4本存在するとき，円 $C_1$ の中心を $O$ ，半径を $r$ とし，円 $C_1$ と共通内接線との接点の1つを $A$ ，同じく共通外接線との接点の1つを $B$ ，共通内接線同士の交点を $C$ ，共通外接線同士の交点を $D$ とすると

$\displaystyle \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OC} = \displaystyle \overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{OD} = r^2$

が成り立ちます。

（証明: $\hspace{12px} |\overrightarrow{OC}| \cos{\angle COA} = |\overrightarrow{OA}| = r, \hspace{12px} |\overrightarrow{OD}| \cos{\angle DOB} = |\overrightarrow{OB}| = r$ ）

ここで， $\displaystyle \overrightarrow{OA}=(\alpha,\ \beta), \hspace{12px} \overrightarrow{OC}=\left(\frac{pr_1}{r_1+r_2},\ \frac{qr_1}{r_1+r_2}\right)$ を $\displaystyle \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OC} = {r_1}^2$ に代入すれば $\alpha p+\beta q=r_1 (r_1+r_2)$ が導けます。

同様に $\displaystyle \overrightarrow{OB}=(\alpha,\ \beta), \hspace{12px} \overrightarrow{OD}=\left(\frac{pr_1}{r_1-r_2},\ \frac{qr_1}{r_1-r_2}\right), \hspace{12px} \overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{OD} = {r_1}^2$ から $\alpha p+\beta q=r_1 (r_1-r_2)$ も導けます。

この2式は前回の記事の $|\alpha p+\beta q-{r_1}^2|=r_1 r_2$ に対応しています。