2つの円の共通接線の求め方と位置関係

数学

今まで他ホームページに少し書いていた数学ネタですが，1つこちらのブログへ移植します。2つの円の共通接線の話です。


xy平面上にある2つの円

{ C_1 : \ (x-x_1)^2 + (y-y_1)^2 = {r_1}^2 \hspace{20pt} (r_1 \gt 0) \\ C_2 : \ (x-x_2)^2 + (y-y_2)^2 = {r_2}^2 \hspace{20pt} (r_2 \gt 0) }

の共通接線を求めてみましょう。

このまま計算すると文字が多く大変なので，{ C_1 } の中心を原点へ移すように両方の円を x 軸方向に -x_1， y 軸方向に -y_1 だけ平行移動させたものを考えます。


p=x_2-x_1, \ q=y_2-y_1 とおいて，2つの円

{ \displaystyle {C_1}' : x^2 + y^2 = {r_1}^2 \\ {C_2}' : (x-p)^2 + (y-q)^2 = {r_2}^2 }

の共通接線を求めてみましょう。

共通接線を求める

{C_1}' の円周上に点 (\alpha, \ \beta) を取り，その点における {C_1}' の接線を l とします。

このとき，接線 l の方程式は \alpha x+\beta y-{r_1}^2=0 となります。

l が {C_2}' に接するとき，{C_2}' の中心と直線 l との距離は r_2 となるので

{ \displaystyle \frac{|\alpha p+\beta q-{r_1}^2|}{\sqrt{\alpha^2+\beta^2}} = r_2 }

すなわち

{ \displaystyle |\alpha p+\beta q-{r_1}^2| = r_1 r_2 }

が成り立ちます。

また，点 (\alpha, \ \beta) は {C_1}' 上の点なので \alpha^2+\beta^2={r_1}^2 が成り立ちます。


以上より，

{ \begin{cases} \displaystyle \ \alpha^2+\beta^2={r_1}^2 \\ \displaystyle \ |\alpha p+\beta q-{r_1}^2| = r_1 r_2 \end{cases} }

の2式を連立させれば点 (\alpha, \ \beta) の座標が求まりそうです。


これを解くと（過程は省略します），

{ \alpha p+\beta q-{r_1}^2 = r_1 r_2 } のとき

{ \begin{cases} \displaystyle \alpha = \frac{pr_1 (r_1+r_2) \pm qr_1 \sqrt{p^2+q^2-(r_1+r_2)^2}}{p^2+q^2} \\ \displaystyle \beta = \frac{qr_1 (r_1+r_2) \mp pr_1 \sqrt{p^2+q^2-(r_1+r_2)^2}}{p^2+q^2} \end{cases} }

{ \alpha p+\beta q-{r_1}^2 = - r_1 r_2 } のとき

{ \begin{cases} \displaystyle \alpha = \frac{pr_1 (r_1-r_2) \pm qr_1 \sqrt{p^2+q^2-(r_1-r_2)^2}}{p^2+q^2} \\ \displaystyle \beta = \frac{qr_1 (r_1-r_2) \mp pr_1 \sqrt{p^2+q^2-(r_1-r_2)^2}}{p^2+q^2} \end{cases} }

となります。なお，それぞれの場合で複号同順です。


（これら0～4つの解を直線 l の方程式 \alpha x+\beta y-{r_1}^2=0 に代入すれば，それが {C_1}' と {C_2}' の共通接線になります。

"0～4つ"というのは，根号の中の値の符号によって共通接線が存在しない場合や，存在しても4本に満たない場合があるからです。「2つの円の位置関係」と呼ばれているものですね。）


これを元の位置へ再度平行移動することで {C_1} と {C_2} の共通接線が求まります。

つまり，C_1 と共通接線との接点の座標は (x_1+\alpha, \ y_1+\beta) （ \alpha,\ \beta は上で求めた値）であり，{C_1} と {C_2} の共通接線は

\alpha (x-x_1)+\beta (y-y_1)-{r_1}^2=0

となります。やったー！！！！！！

共通内接線と共通外接線

と，求めるだけならここで終了ですが，ここで疑問が残ります。

円の共通接線には，共通内接線と共通外接線の2種類があります。

2円の中心を結ぶ線分上で交わるものが共通内接線です。そして2円の外側にくっついているものが共通外接線です。

先ほど高々4つの接点が求まりましたが，一体どれが共通内接線の接点であり，共通外接線の接点なのでしょうか。


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[図 1]


ここから先は平行移動した円 {C_1}' と {C_2}' で考えます。

以降，{ \alpha p+\beta q-{r_1}^2 = r_1 r_2 } のときの2つの解を以下のように (\alpha_1, \ \beta_1), \ (\alpha_2, \ \beta_2) とおき，その点における接線をそれぞれ l_1, \ l_2 とします。

また，{ \alpha p+\beta q-{r_1}^2 = - r_1 r_2 } のときの2つの解を以下のように (\alpha_3, \ \beta_3), \ (\alpha_4, \ \beta_4) とおき，その点における接線をそれぞれ l_3, \ l_4 とします。


{ \begin{cases} \displaystyle \alpha_1 = \frac{pr_1 (r_1+r_2) + qr_1 \sqrt{p^2+q^2-(r_1+r_2)^2}}{p^2+q^2} \\ \displaystyle \beta_1 = \frac{qr_1 (r_1+r_2) - pr_1 \sqrt{p^2+q^2-(r_1+r_2)^2}}{p^2+q^2} \end{cases} \\ \begin{cases} \displaystyle \alpha_2 = \frac{pr_1 (r_1+r_2) - qr_1 \sqrt{p^2+q^2-(r_1+r_2)^2}}{p^2+q^2} \\ \displaystyle \beta_2 = \frac{qr_1 (r_1+r_2) + pr_1 \sqrt{p^2+q^2-(r_1+r_2)^2}}{p^2+q^2} \end{cases} \\ \begin{cases} \displaystyle \alpha_3 = \frac{pr_1 (r_1-r_2) + qr_1 \sqrt{p^2+q^2-(r_1-r_2)^2}}{p^2+q^2} \\ \displaystyle \beta_3 = \frac{qr_1 (r_1-r_2) - pr_1 \sqrt{p^2+q^2-(r_1-r_2)^2}}{p^2+q^2} \end{cases} \\ \begin{cases} \displaystyle \alpha_4 = \frac{pr_1 (r_1-r_2) - qr_1 \sqrt{p^2+q^2-(r_1-r_2)^2}}{p^2+q^2} \\ \displaystyle \beta_4 = \frac{qr_1 (r_1-r_2) + pr_1 \sqrt{p^2+q^2-(r_1-r_2)^2}}{p^2+q^2} \end{cases} }

{ \displaystyle l_n : \ \ \alpha_n x + \beta_n y - {r_1}^2 = 0 \hspace{15pt} (n=1,2,3,4) }


まず試しに l_1 と l_2 の2式を連立方程式とみて x, \ y について解き，この2直線の交点を求めてみます。

2直線の方程式を連立したものは，行列を用いて

{ \left( \begin{array}{cc} A & B \\ C & D \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} (p^2+q^2) {r_1}^2 \\ (p^2+q^2) {r_1}^2 \end{array} \right) }

と表すことができます。ただし，

{ A = (p^2+q^2) \alpha_1 = pr_1 (r_1+r_2) + qr_1 \sqrt{p^2+q^2-(r_1+r_2)^2} \\ B = (p^2+q^2) \beta_1 = qr_1 (r_1+r_2) - pr_1 \sqrt{p^2+q^2-(r_1+r_2)^2} \\ C = (p^2+q^2) \alpha_2 = pr_1 (r_1+r_2) - qr_1 \sqrt{p^2+q^2-(r_1+r_2)^2} \\ D = (p^2+q^2) \beta_2 = qr_1 (r_1+r_2) + pr_1 \sqrt{p^2+q^2-(r_1+r_2)^2} }

とおきました。

これをクラメルの公式を利用して x, \ y について解くと，

{ \begin{array} \displaystyle x&= \displaystyle \frac { \left| \begin{array}{cc} (p^2+q^2){r_1}^2 & B \\ (p^2+q^2){r_1}^2 & D \end{array} \right| } { \left| \begin{array}{cc} A & B \\ C & D \end{array} \right| } \\ &= \displaystyle \frac{ (p^2+q^2){r_1}^2 (D-B) }{ AD-BC } \\ &= \displaystyle \frac{ 2(p^2+q^2)p{r_1}^3 \sqrt{p^2+q^2-(r_1+r_2)^2} }{ 2(p^2+q^2)(r_1+r_2){r_1}^2 \sqrt{p^2+q^2-(r_1+r_2)^2} } \\ &= \displaystyle \frac{pr_1}{r_1+r_2} \end{array} }

{ \begin{array} \displaystyle y&= \displaystyle \frac { \left| \begin{array}{cc} A & (p^2+q^2){r_1}^2 \\ C & (p^2+q^2){r_1}^2 \end{array} \right| } { \left| \begin{array}{cc} A & B \\ C & D \end{array} \right| } \\ &= \displaystyle \frac{ 2(p^2+q^2)q{r_1}^3 \sqrt{p^2+q^2-(r_1+r_2)^2} }{ 2(p^2+q^2)(r_1+r_2){r_1}^2 \sqrt{p^2+q^2-(r_1+r_2)^2} } \\ &= \displaystyle \frac{qr_1}{r_1+r_2} \end{array} }

となり，l_1 と l_2 の交点の座標が { \displaystyle \left( \frac{pr_1}{r_1+r_2}, \ \frac{qr_1}{r_1+r_2} \right) } であることが分かりました。

この答えを見て分かるとおり，交点の座標は {C_1}' と {C_2}' それぞれの中心を結ぶ線分を r_1 : r_2 に内分した点となりました*1。

よってこの点は {C_1}' と {C_2}' の中心を結ぶ線分上にあることが分かり，したがって l_1 と l_2 は共に共通内接線となります。


なお，上の式において { \displaystyle \left| \begin{array}{cc} A & B \\ C & D \end{array} \right| } = 0 となるのは p^2+q^2=(r_1+r_2)^2 のときですから，このとき三平方の定理より2円は外接しています。（下図参照）

2円が外接しているときの共通内接線は1本ですから，そもそも交点なんてありません。

そして p^2+q^2=(r_1+r_2)^2 が成り立つとき \alpha, \ \beta の根号の中は 0 なので， \alpha_1 = \alpha_2, \ \ \beta_1 = \beta_2 となります。だから共通内接線がただ1本に決まるわけですね。

また，このとき2円の接する点の座標は先ほどと同じく { \displaystyle \left( \frac{pr_1}{r_1+r_2}, \ \frac{qr_1}{r_1+r_2} \right) } になりますが，この点は共通内接線の唯一の接点ですからこれは (\alpha_1, \ \beta_1) 及び (\alpha_2, \ \beta_2) と等しいのです。


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[図 2]


共通外接線については結論のみ書きます。

l_3, \ l_4 は共に共通外接線となり，交点の座標は { \displaystyle \left( \frac{pr_1}{r_1-r_2}, \ \frac{qr_1}{r_1-r_2} \right) } と表されます。

この点は {C_1}' と {C_2}' の中心を r_1 : r_2 に外分した点になっています。

p^2+q^2=(r_1-r_2)^2 のとき2円は内接し，共通外接線は1本になります。

また， r_1=r_2 のとき l_3, \ l_4 は平行です。


[追記]

点と直線の距離の公式を用いた式 |\alpha p+\beta q-{r_1}^2| = r_1 r_2 から区別ができることがわかりました。

絶対値の中の符号は，直線から見て点 (p,\ q) が直線の法線ベクトル \boldsymbol{n}=(\alpha,\ \beta) の向きにあるときに正，法線ベクトルと反対の向きにあるときに負になります。

共通内接線の接点は接線から見て \boldsymbol{n} と同じ向きにあるので， \alpha p+\beta q-{r_1}^2 = r_1 r_2 のときは共通内接線です。

そして共通外接線の接点は接線から見て \boldsymbol{n} と反対の向きにあるので， \alpha p+\beta q-{r_1}^2 = - r_1 r_2 のときは共通外接線になります。

(追記おわり)


ここで一段落です。今度は2本の共通接線の位置関係について考えてみます。

共通接線の位置関係

共通内接線が2本あるとき，l_1, \ l_2 のどちらがどちら側の直線なのでしょうか？（うまく説明できない）

これは \alpha, \ \beta に含まれる根号の前の \pm の符号によって次のように確定します。*2

説明のために2円がちょうど上下に並んでいるとします。

このとき，\alpha の計算式中の複号 \pm がプラス（ =\alpha_1）のときの接線 l_1 は左上から右下への直線，マイナス（ =\alpha_2）のときの接線 l_2 は右上から左下への直線になります。

[図 1] の添え字と照らし合わせてみてください。円が上下に並んでいるときは"＼"という向きの接線が l_1 で，"／"という向きの接線が l_2 です。

この位置関係は円の位置を連続的に移動させても変化しません。すなわち，連続的に円を移動させていく中で突然 l_1 と l_2 の位置関係がひっくり返ったりすることはありません。


次は共通外接線の位置関係です。

{C_1}' が下，{C_2}' が上になるように2円が上下に並んでいるとします。

このとき \alpha の \pm がプラス（ =\alpha_3）のとき接線 l_3 は右側の直線，マイナス（ =\alpha_4）のとき接線 l_4 は左側の直線になります。

こちらも円の連続的な移動によって位置関係が突然ひっくり返ることはありません。なお，円の位置を上下にひっくり返すと見かけ上 l_3 と l_4 が入れ替わったように見えることに注意してください。


もう1つの接点

もう1つ調べてみましょう。

{C_1}' と接線の接点は (\alpha, \ \beta) でしたが， {C_2}' と接線の接点はどこでしょうか。

面倒な計算をする必要はありません。


まずは共通内接線です。

下の[図 3]のように共通内接線と C_1', \ C_2' との接点をそれぞれ A, \ B とし，円 C_2' の中心を C，点 A, \ B から OC へ引いた垂線の足をそれぞれ D, \ E とします。

このとき \triangle{AOD} \sim \triangle{BCE} （相似）であり，その相似比は {r_1 : r_2} です。

したがって { \displaystyle \overrightarrow{CE} = -\frac{r_2}{r_1} \overrightarrow{OD} = -\frac{r_2}{r_1} \left( \begin{array}{c} \alpha \\ 0 \end{array} \right), \hspace{10pt} \overrightarrow{EB} = -\frac{r_2}{r_1} \overrightarrow{DA} = -\frac{r_2}{r_1} \left( \begin{array}{c} 0 \\ \beta \end{array} \right)} が成り立ちます。

点 C の座標は (p, \ q) ですから，C_2' と接線の接点 Bの座標は \displaystyle (p-\frac{r_2}{r_1}\alpha, \ q-\frac{r_2}{r_1}\beta) と分かります。


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[図 3]


続いて共通外接線です。

こちらも同じように図形をかくと相似比は {r_1 : r_2} で，ベクトルの向きは反転せずにそのままになります。

よって C_2' と接線の接点の座標は \displaystyle (p+\frac{r_2}{r_1}\alpha, \ q+\frac{r_2}{r_1}\beta) となります。

まとめ

ここまでは {C_1}', \ {C_2}' で考えてきましたが，最後にこれを C_1, \ C_2 に関する結果としてまとめます。

{ \\ C_1 : \ (x-x_1)^2 + (y-y_1)^2 = {r_1}^2 \hspace{20pt} (r_1 \gt 0) \\ C_2 : \ (x-x_2)^2 + (y-y_2)^2 = {r_2}^2 \hspace{20pt} (r_2 \gt 0) \\ }

の共通内接線を l_i，共通外接線を l_e とすると，C_1 と l_i の接点は (x_1+\alpha_i, \ y_1+\beta_i) で，C_1 と l_e の接点は (x_1+\alpha_e, \ y_1+\beta_e) です。

また， C_2 と l_i の接点は \displaystyle (x_2-\frac{r_2}{r_1}\alpha_i, \ y_2-\frac{r_2}{r_1}\beta_i) で，C_2 と l_e の接点は \displaystyle (x_2+\frac{r_2}{r_1}\alpha_e, \ y_2+\frac{r_2}{r_1}\beta_e) です。ただし p=x_2-x_1, \ q=y_2-y_1 とおき，さらに

{ \begin{cases} \displaystyle \alpha_i = \frac{pr_1 (r_1+r_2) \pm qr_1 \sqrt{p^2+q^2-(r_1+r_2)^2}}{p^2+q^2} \\ \displaystyle \beta_i = \frac{qr_1 (r_1+r_2) \mp pr_1 \sqrt{p^2+q^2-(r_1+r_2)^2}}{p^2+q^2} \end{cases} }

{ \begin{cases} \displaystyle \alpha_e = \frac{pr_1 (r_1-r_2) \pm qr_1 \sqrt{p^2+q^2-(r_1-r_2)^2}}{p^2+q^2} \\ \displaystyle \beta_e = \frac{qr_1 (r_1-r_2) \mp pr_1 \sqrt{p^2+q^2-(r_1-r_2)^2}}{p^2+q^2} \end{cases} }

とおきました。これらはそれぞれ複号同順であり，複号が + の場合と - の場合で l_i と l_e はそれぞれ高々2本ずつあります。


また，接線 l_{i,e} の式は

l_{i,e} : \ \ \alpha_{i,e} (x-x_1)+\beta_{i,e} (y-y_1)-{r_1}^2=0

と表されます。

l_i が2本存在するとき，その交点の座標は

{ \displaystyle \left( x_1+\frac{pr_1}{r_1+r_2}, \ y_1+\frac{qr_1}{r_1+r_2} \right)}，すなわち { \displaystyle \left( \frac{r_1 x_2+r_2 x_1}{r_1+r_2}, \ \frac{r_1 y_2+r_2 y_1}{r_1+r_2} \right) }

であり，l_e が2本存在するとき，その交点の座標は

{ \displaystyle \left( x_1+\frac{pr_1}{r_1-r_2}, \ y_1+\frac{qr_1}{r_1-r_2} \right)}，すなわち { \displaystyle \left( \frac{r_1 x_2-r_2 x_1}{r_1-r_2}, \ \frac{r_1 y_2-r_2 y_1}{r_1-r_2} \right) }

です。



以下はおまけです。

hg.hatenablog.jp


[2019/02/08] 一部記述を修正しました。

*1:相似の中心です！

*2:α, βに含まれる±の符号とp, qの符号が関係し合うことでα, βの大小が決定し，それに伴って位置が決定します。