Twitterに投下した問題の解答 その2

こちらには2020年以降に Twitter へ投下した問題の解答を掲載しています。
計算過程等は省略しています。


2019年以前の問題の解答はこちら↓
hg.hatenablog.jp


・問題 (20200209)

・解答

 \displaystyle \varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}とおく。

  1. \overrightarrow{\text{AC}} = \varphi \;\! \vec{a} + \vec{b}
  2. \overrightarrow{\text{AD}} = \vec{a} + \varphi \;\! \vec{b}
  3. \overrightarrow{\text{AG}} = \vec{a} + \varphi \;\! \vec{c}
  4. \overrightarrow{\text{AH}} = \varphi \;\! \vec{a} + \vec{c}
  5. \overrightarrow{\text{AI}} = \varphi^2 \;\! \vec{a} + \vec{b} + \varphi \;\! \vec{c}
  6. \overrightarrow{\text{AJ}} = \varphi^2 \;\! \vec{a} + \varphi \;\! \vec{b} + \vec{c}
  7. \overrightarrow{\text{AK}} = \varphi^2 \;\! \vec{a} + \varphi^2 \;\! \vec{b} + \varphi \;\! \vec{c}
  8. \overrightarrow{\text{AL}} = \varphi \;\! \vec{a} + \varphi^2 \;\! \vec{b} + \vec{c}
  9. \overrightarrow{\text{AM}} = \vec{a} + \varphi^2 \;\! \vec{b} + \varphi \;\! \vec{c}
  10. \overrightarrow{\text{AN}} = \varphi \;\! \vec{b} + \vec{c}
  11. \overrightarrow{\text{AO}} = \vec{b} + \varphi \;\! \vec{c}
  12. \overrightarrow{\text{AP}} = \varphi \;\! \vec{a} + \vec{b} + \varphi^2 \;\! \vec{c}
  13. \overrightarrow{\text{AQ}} = \varphi^2 \;\! \vec{a} + \varphi \;\! \vec{b} + \varphi^2 \;\! \vec{c}
  14. \overrightarrow{\text{AR}} = \varphi^2 \;\! \vec{a} + \varphi^2 \;\! \vec{b} + \varphi^2 \;\! \vec{c}
  15. \overrightarrow{\text{AS}} = \varphi \;\! \vec{a} + \varphi^2 \;\! \vec{b} + \varphi^2 \;\! \vec{c}
  16. \overrightarrow{\text{AT}} = \vec{a} + \varphi \;\! \vec{b} + \varphi^2 \;\! \vec{c}

 \varphi黄金比です! 綺麗!
 \varphi^2 \varphi + 1 とも表せます。


(多項式)×(等比数列)型の数列の和を求めること

 先日,フモフモさん氏(twitter: @fumofumobun)により,一般項が  a_n = (p n + q) r^{n - 1}  (r \not= 1) の形で表された数列の和を爆速で計算する手法が Twitter に投稿されました。


 ハ!? ヤバ!!!!! と初見時は思ったもので,上の公式によって QOL の爆上げという大変な恩恵を享受してしまいました。そこで本記事ではこれを一般化し,( n N多項式)×(等比数列)の形で表された数列  \{ a_n \} の初項から第  n 項までの和を公式として表現することを試みます。本記事で紹介する公式による更なる QOL の向上はもはや不可避です。


目次

準備

  •  \mathbf{N} を正の整数全体の集合, \mathbf{Z} を整数全体の集合, \mathbf{C}複素数全体の集合とします。
  •  \binom{n}{r} を二項係数とします。すなわち

 {
    \displaystyle
    \binom{n}{r} = {}_{n\!}\mathrm{C}_r = \frac{n!}{r! (n - r)!}
}

 と定めます。

  • 関数  f \, \colon \, \mathbf{Z} \to \mathbf{C} に対し, f の後退差分  \nabla f \, \colon \, \mathbf{Z} \to \mathbf{C}

 \nabla f(n) = f(n) - f(n - 1) \quad (n \in \mathbf{Z}) \

 で定義します。*1

設定

 数列  \{ a_n \} の一般項が,

 {
    \begin{align*}
        a_n &= (p_N n^N + p_{N - 1} n^{N - 1} + \cdots + p_1 n + p_0) r^{n - 1} \\
            &= \left( \sum_{k = 0}^N p_k n^k \right) r^{n - 1} \quad (n = 1,\, 2,\, 3,\, \ldots)
    \end{align*}
}

で表されているとします。ただし, N は非負の整数で,各  p_k\ (k = 0,\, 1,\, \ldots,\, N) および  r複素数です。また, r \not= 0,\ r \not= 1 とします。この数列に対し,和

 \displaystyle S_n = \sum_{k = 1}^n a_k \
を計算することを試みます。

計算

 上の数列  \{ a_n \} に対し,

 a_n = \nabla f(n) \quad (n \in \mathbf{N}) \

を満たすような関数  f \, \colon \, \mathbf{Z} \to \mathbf{C} をまず見つけましょう。 \{ a_n \} の一般項の形から, f(n)

 {
    \begin{align*}
        f(n) &= (A_N n^N + A_{N - 1} n^{N - 1} + \cdots + A_1 n + A_0) r^n \\
            &= \left( \sum_{k = 0}^N A_k n^k \right) r^n
    \end{align*}
}

と表せることが推測されます。ここで,各  A_k複素数で,2行目の和における  n = 0 の場合について  0^0 = 1 と定めます。このとき,

 {
    \displaystyle
    f(n) = \left( \sum_{k = 0}^N r A_k n^k \right) r^{n - 1} 
}

であり,さらに

 {
    \begin{align*}
        f(n - 1) &= \left( \sum_{k = 0}^N A_k (n - 1)^k \right) r^{n - 1} \\
            &= r^{n - 1} \sum_{k = 0}^N A_k \left( \sum_{l = 0}^k \binom{k}{l} (-1)^{k - l} n^l \right) \\
            &= r^{n - 1} \sum_{k = 0}^N \sum_{l = 0}^k A_k \binom{k}{l} (-1)^{k - l} n^l \\
            &= r^{n - 1} \sum_{l = 0}^N \sum_{k = l}^N A_k \binom{k}{l} (-1)^{k - l} n^l \\
            &= r^{n - 1} \sum_{k = 0}^N \sum_{l = k}^N A_l \binom{l}{k} (-1)^{l - k} n^k \\
            &= \sum_{k = 0}^N \left( \sum_{l = k}^N A_l \binom{l}{k} (-1)^{l - k} n^k \right) r^{n - 1} \\
    \end{align*}
}

となります。よって,  \nabla f(n) を計算すると

 {
    \begin{align*}
        \nabla f(n) &= \sum_{k = 0}^N \left( r A_k n^k - \sum_{l = k}^N A_l \binom{l}{k} (-1)^{l - k} n^k \right) r^{n - 1} \\
            &=\left( r A_N n^N - A_N n^N \right) r^{n - 1} \\
            & \qquad {} + \sum_{k = 0}^{N - 1} \left( r A_k n^k - \sum_{l = k}^N A_l \binom{l}{k} (-1)^{l - k} n^k \right) r^{n - 1} \\
            &= (r - 1) A_N n^N r^{n - 1} \\
            & \qquad {} + \sum_{k = 0}^{N - 1} \left( r A_k - A_k - \sum_{l = k + 1}^N A_l \binom{l}{k} (-1)^{l - k} \right) n^k r^{n - 1} \\
            &= \Biggl\{ (r - 1) A_N n^N \\
            & \qquad {} + \sum_{k = 0}^{N - 1} \left( (r - 1) A_k - \sum_{l = k + 1}^N A_l \binom{l}{k} (-1)^{l - k} \right) n^k \Biggr\} r^{n - 1}
    \end{align*}
}

となります。したがって, a_n = \nabla f(n) が任意の  n \in \mathbf{N} で成り立つことは,

 {
    \begin{align*}
        \sum_{k = 0}^N p_k n^k &= (r - 1) A_N n^N \\
            & \quad {} + \sum_{k = 0}^{N - 1} \left( (r - 1) A_k - \sum_{l = k + 1}^N A_l \binom{l}{k} (-1)^{l - k} \right) n^k
    \end{align*}
}

が任意の  n \in \mathbf{N} に対して成り立つことと同値です。これを  n についての恒等式とみて係数を比較すると,

 {
    \begin{align*}
        p_N &= (r - 1) A_N, \\
        p_k &= (r - 1) A_k - \sum_{l = k + 1}^N A_l \binom{l}{k} (-1)^{l - k} \quad (k = 0,\, 1,\, 2,\, \ldots,\, N - 1)
    \end{align*}
}

であればよいことが分かります。これより,

 {
    \begin{align*}
        A_N &= \frac{p_N}{r - 1}, \\
        A_k &=\frac{p_k + \sum_{l = k + 1}^N \binom{l}{k} (-1)^{l - k} A_l}{r - 1} \quad (k = 0,\, 1,\, 2,\, \ldots,\, N - 1)
    \end{align*}
}

が得られます。これら各  A_k は, k = N,\, N - 1,\, N - 2,\, \ldots,\, 2,\, 1,\, 0 の順に計算することができます。

 以上より,求める和  S_n は,

 {
    \begin{align*}
        S_n &= \sum_{k = 1}^n a_k \\
            &= \sum_{k = 1}^n (f(k) - f(k - 1)) \\
            &= f(n) - f(0) \\
            &= \left( \sum_{k = 0}^N A_k n^k \right) r^n - A_0
    \end{align*}
}

となります。

まとめ

  N を非負の整数, p_k\ (k = 0,\, 1,\, \ldots,\, N)複素数 r r \not= 0,\ r \not= 1 を満たす複素数とします。一般項が

 {
    \begin{align*}
        a_n &= (p_N n^N + p_{N - 1} n^{N - 1} + \cdots + p_1 n + p_0) r^{n - 1} \\
            &= \left( \sum_{k = 0}^N p_k n^k \right) r^{n - 1} \quad (n = 1,\, 2,\, 3,\, \ldots)
    \end{align*}
}

で表されている数列  \{ a_n \} について,その第  n 項までの和  S_n = \sum_{k = 1}^n a_k \ は,

 {
    \begin{align*}
        S_n &= \left( \sum_{k = 0}^N A_k n^k \right) r^n - A_0 \\
            &= (A_N n^N + A_{N - 1} n^{N - 1} + \cdots + A_1 n + A_0) r^{n} - A_0
    \end{align*}
}

と表せます。ここで,各係数  A_k

 {
    \begin{align*}
        A_N &= \frac{p_N}{r - 1}, \\
        A_k &=\frac{p_k + \sum_{l = k + 1}^N \binom{l}{k} (-1)^{l - k} A_l}{r - 1} \quad (k = N - 1,\, N - 2,\, \ldots,\, 2,\, 1,\, 0)
    \end{align*}
}

で与えられます。

具体例

 いくつかの具体例を以下に紹介します。

N = 1 の場合

 上で得られた式が,フモフモさん氏の公式の拡張となっていることを確かめましょう。 N = 1 の場合を考え,数列  \{ a_n \} の一般項が  a_n = (p_1 n + p_0) r^{n - 1} で与えられているとします。このとき,

 {
    \begin{align*}
        A_1 &= \frac{p_1}{r - 1}, \\
        A_0 &= \frac{p_0 + \binom{1}{0} (-1)^{1 - 0} A_1}{r - 1} = \frac{p_0 - A_1}{r - 1}
    \end{align*}
}

とすれば, \sum_{k = 1}^n a_k = ( A_1 n + A_0 ) r^n - A_0 が成り立ちます。これは確かにフモフモさん氏の公式と一致しています。

例題. \displaystyle \sum_{k = 1}^n (3 k - 2) \cdot 3^{k - 1} を計算せよ。
解答. \displaystyle A_1 = \frac{3}{3 - 1} = \frac{3}{2} \displaystyle A_0 = \frac{-2 - \frac{3}{2}}{3 - 1} = -\frac{7}{4} より,

 {
    \begin{align*}
        \sum_{k = 1}^n (3 k - 2) \cdot 3^{k - 1} &= \left( \frac{3}{2} n - \frac{7}{4} \right) \cdot 3^n + \frac{7}{4} \\
            &= \frac{(6 n - 7) \cdot 3^n + 7}{4}.
    \end{align*}
}

N = 2 の場合

 数列  \{ a_n \} の一般項が  a_n = (p_2 n^2 + p_1 n + p_0) r^{n - 1} で与えられているとします。このとき,

 {
    \begin{align*}
        A_2 &= \frac{p_2}{r - 1}, \\
        A_1 &= \frac{p_1 - 2 A_2}{r - 1}, \\
        A_0 &= \frac{p_0 + A_2 - A_1}{r - 1} \\
    \end{align*}
}

とすれば, \sum_{k = 1}^n a_k = ( A_2 n^2 + A_1 n + A_0 ) r^n - A_0 が成り立ちます。

例題. \displaystyle \sum_{k = 1}^n (2 k^2 - 4 k + 3) \cdot 4^{k - 1} を計算せよ。
解答.
 {
    \begin{align*}
        A_2 &= \frac{2}{4 - 1} = \frac{2}{3}, \\
        A_1 &= \frac{-4 - 2 \cdot \frac{2}{3}}{4 - 1} = -\frac{16}{9}, \\
        A_0 &= \frac{3 + \frac{2}{3} - (-\frac{16}{9})}{4 - 1} = \frac{49}{27}
    \end{align*}
}

より,

 {
    \begin{align*}
        \sum_{k = 1}^n (2 k^2 - 4 k + 3) \cdot 4^{k - 1} &= \left( \frac{2}{3} n^2 - \frac{16}{9} n + \frac{49}{27} \right) \cdot 4^n - \frac{49}{27} \\
            &= \frac{(18 n^2 - 48 n + 49) \cdot 4^n - 49}{27}.
    \end{align*}
}

N = 3 の場合

 数列  \{ a_n \} の一般項が  a_n = (p_3 n^3 + p_2 n^2 + p_1 n + p_0) r^{n - 1} で与えられているとき,

 {
    \begin{align*}
        A_3 &= \frac{p_3}{r - 1}, \\
        A_2 &= \frac{p_2 - 3 A_3}{r - 1}, \\
        A_1 &= \frac{p_1 + 3 A_3 - 2 A_2}{r - 1} \\
        A_0 &= \frac{p_0 - A_3 + A_2 - A_1}{r - 1} \\
    \end{align*}
}

とすれば, \sum_{k = 1}^n a_k = ( A_3 n^3 + A_2 n^2 + A_1 n + A_0 ) r^n - A_0 が成り立ちます。

N = 4 の場合

 数列  \{ a_n \} の一般項が  a_n = (p_4 n^4 + p_3 n^3 + p_2 n^2 + p_1 n + p_0) r^{n - 1} で与えられているとき,

 {
    \begin{align*}
        A_4 &= \frac{p_4}{r - 1}, \\
        A_3 &= \frac{p_3 - 4 A_4}{r - 1}, \\
        A_2 &= \frac{p_2 + 6 A_4 - 3 A_2}{r - 1} \\
        A_1 &= \frac{p_1 - 4 A_4 + 3 A_2 - 2 A_1}{r - 1} \\
        A_0 &= \frac{p_0 + A_4 - A_2 + A_1 - A_0}{r - 1} \\
    \end{align*}
}

とすれば, \sum_{k = 1}^n a_k = ( A_4 n^4 + A_3 n^3 + A_2 n^2 + A_1 n + A_0 ) r^n - A_0 が成り立ちます。

 右辺の  A_4 の係数に着目すると,符号はマイナスから始まり,プラス,マイナス,プラスという風にかわりばんこに出現し,係数の絶対値には二項係数  \binom{4}{r}\ (r = 1,\, 2,\, 3,\, 4) がきれいに並んでいることがわかります。他の  A_3,\ A_2,\ A_1,\ A_0 も同様の規則で並んでおり,これを理解すれば公式を覚えることは容易いでしょう。


 質問や間違い等ございましたら,本記事へのコメント,もしくは私の Twitter (@hogehogehogege) までお気軽にお尋ねください~!


*1: \nabla は後退差分作用素 (backward difference operator) などと呼ばれます。

Twitterに投下した問題の解答 その1

こちらには2019年以前に Twitter へ投下した問題の解答を掲載しています。

2020年以降の問題の解答はこちら↓
hg.hatenablog.jp

・問題 (20190917)

・解答

カージオイド  {
    (x - 1)^2 + y^2 = (x^2 - x + y^2)^2.
}

この式は,

 {
  \displaystyle
  \left\{
    \begin{array}{l}
      x = 1 + (1 - \cos \theta) \cos \theta, \\
      y = (1 - \cos \theta) \sin \theta
    \end{array}
  \right.
}
から  \theta を消去したものです!


・問題 (20180731)

・解答

 {
\begin{equation*}
    \left\{
        \begin{alignedat}{1}
            & \,\ y = \sqrt{3} x - 1 - \sqrt{3}, \\
            & \,\ y = -\frac{\sqrt{3}}{3} x + \frac{9 - 3 \sqrt{3}}{9}, \\
            & \,\ y = -\frac{24 + 13 \sqrt{3}}{23} x + \frac{47 - 8 \sqrt{2} + 13 \sqrt{3} - 12 \sqrt{6}}{23}, \\
            & \,\ y = -\frac{24 + 13 \sqrt{3}}{23} x + \frac{47 + 8 \sqrt{2} + 13 \sqrt{3} + 12 \sqrt{6}}{23}.
        \end{alignedat}
    \right.
\end{equation*}
}
上の2つが共通内接線,下2つが共通外接線です。

問題文の前者の楕円の対称の中心は点  (1, 1) であり,長軸と  x 軸はちょうど  30^\circ の角をなしています。問題文の2つの楕円をそれぞれ  x 軸方向に  -1 y 軸方向に  -1 平行移動したあと原点を中心にして反時計回りに  30^\circ 回転させ,さらに  y 軸方向に  3/2 倍に拡大すれば,2つの楕円は円  x^2 + y^2 = 1 と楕円  4x^2 + 6xy + 4y^2 - 6x + 6y + 11 = 0 にそれぞれうつります。この円と楕円の共通接線は, x = 1,\ y = -1 および  x + y = \pm \sqrt{2} の4本です。この4本の直線をそれぞれ  y 軸方向に  2/3 倍し,原点を中心にして時計回りに  30^\circ 回転させ, x 軸方向に  1 y 軸方向に  1 平行移動させたものが答えです。


・問題 (20180220)

・解答

 \angle {\rm ABF} = 150^\circ.


・問題 (20171121)

・補足

この問題では  0/0=1 とします。

・解答

すみません……これ自力で解けないです……
 \{a_n\} の一般項が以下のようになることを示せばよいのですが……

 {
  \displaystyle
  a_n = \begin{cases}
    1 & (n=0,5,6,11,12,17, ...) \\
    0 & (n=1,4,7,10,13,16, ...) \\
    -1 & (n=2,3,8,9,14,15, ...) \\
  \end{cases}
}
この証明を出来る人がいましたら,ご教示頂けますと嬉しいです。

・追記 (2018年10月11日)

 (1-x+x^2)^{-1} の展開が  \sum_{n=0}^\infty \sum_{k=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} (-1)^k \binom{n - k}{k} x^n であることや,
 (1-x+x^2)^{-1} = 1 + x(1 - x)/(1 - x + x^2) であることなどから問題の等式が導かれます。そもそもこの問題は  (1-x+x^2)^{-1}マクローリン展開した際の  n 次の項の係数が  \sum_{k=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} (-1)^k \binom{n - k}{k} であることを発見したのがきっかけで作った問題でした(すっかり忘れてた)。詳しい話は時間があるときに追記するかもしれません。

続きを読む

アシュリー

DTMに関しては初めての投稿です。
先日,といっても一ヶ月前ですが,新曲を音雲にアップしました。よかったら聴いてくださいね。


soundcloud.com

(MQubeはこっち → Spacer / ほげ | MQube


さわるメイドインワリオという任天堂のゲームがありますが,この曲はそのゲーム中のミニゲーム「アシュリー」のボスステージのBGMにインスピレーションを受けて作ったものです。その曲をリスペクトして,I→II♭→I→II♭→…… という進行を取り入れています。

キックのアタックの高音域をマシマシのマシにしたので,iPhoneのスピーカーで聴くとアタックがメチャ目立ってヤベェのです。イヤホンだと微妙。

なお,この曲はフリーダウンロードにしてあります。
音雲では「・・・ More」と書いてあるところから,MQubeではダウンロードボタンからDLできます。


ところで,2018年8月2日(記事投稿時点での今日!)にメイドインワリオの新作が3DSソフトで発売されるようでございますが、当方アシュリー様が大大大好きなので非常に嬉しい限りです。

アシュリー様がフルボイスでしゃべるよ!
みんな買ってね!


以上,露骨な宣伝でした。