Twitterに投下した問題の解答 その1

数学

こちらには2019年以前に Twitter へ投下した問題の解答を掲載しています。

2020年以降の問題の解答はこちら↓
hg.hatenablog.jp


・問題 (20191210)

・解答

実数 x について， x 以下の最大の整数を \lfloor x \rfloor と表す。このとき，
(1)

  • 1 \leqq n < s のとき， n （本）
  • n \geqq s のとき， n + \left\lfloor \frac{n - t}{s - t} \right\rfloor t （本）

(2)

  • 1 \leqq n_0 < s のとき， n_0 （本）
  • n_0 \geqq s，かつ n_0 を s で割った余りが t - 1 以下のとき， t + \left\lfloor \frac{n_0}{s} \right\rfloor (s - t) （本）
  • n_0 \geqq s，かつ n_0 を s で割った余りが t 以上のとき， n_0 - \left\lfloor \frac{n_0}{s} \right\rfloor t （本）

中学受験算数で時々目にする，空きビン問題・空きカン問題の一般化です。
ジュースを s - t 本買うごとに t 本のおまけが手に入るのですね。


・問題 (20190917)

・解答

カージオイド　 { (x - 1)^2 + y^2 = (x^2 - x + y^2)^2. }

この式は，

{ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} x = 1 + (1 - \cos \theta) \cos \theta, \\ y = (1 - \cos \theta) \sin \theta \end{array} \right. }
から \theta を消去したものです！


・問題 (20180731)

・解答

{ \begin{equation*} \left\{ \begin{alignedat}{1} & \,\ y = \sqrt{3} x - 1 - \sqrt{3}, \\ & \,\ y = -\frac{\sqrt{3}}{3} x + \frac{9 - 3 \sqrt{3}}{9}, \\ & \,\ y = -\frac{24 + 13 \sqrt{3}}{23} x + \frac{47 - 8 \sqrt{2} + 13 \sqrt{3} - 12 \sqrt{6}}{23}, \\ & \,\ y = -\frac{24 + 13 \sqrt{3}}{23} x + \frac{47 + 8 \sqrt{2} + 13 \sqrt{3} + 12 \sqrt{6}}{23}. \end{alignedat} \right. \end{equation*} }
上の2つが共通内接線，下2つが共通外接線です。

問題文の前者の楕円の対称の中心は点 (1, 1) であり，長軸と x 軸はちょうど 30^\circ の角をなしています。問題文の2つの楕円をそれぞれ x 軸方向に -1， y 軸方向に -1 平行移動したあと原点を中心にして反時計回りに 30^\circ 回転させ，さらに y 軸方向に 3/2 倍に拡大すれば，2つの楕円は円 x^2 + y^2 = 1 と楕円 4x^2 + 6xy + 4y^2 - 6x + 6y + 11 = 0 にそれぞれうつります。この円と楕円の共通接線は， x = 1,\ y = -1 および x + y = \pm \sqrt{2} の4本です。この4本の直線をそれぞれ y 軸方向に 2/3 倍し，原点を中心にして時計回りに 30^\circ 回転させ， x 軸方向に 1， y 軸方向に 1 平行移動させたものが答えです。答えありきで作問した感がスゴい。悪問。


・問題 (20180220)

・解答

\angle {\rm ABF} = 150^\circ.
興味本位で角の三等分線を用いた問題を作ったところ，なかなか難しい問題が出来上がってしまいました。私は三角関数でゴリ押しました。これ算数で解けますか？　解けるんですか？　誰か！　算数のプロ！　教えて！


・問題 (20171121)

・補足

この問題では 0/0=1 とします。

・解答

(1-x+x^2)^{-1} の展開が \sum_{n=0}^\infty \sum_{k=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} (-1)^k \binom{n - k}{k} x^n であることや，
(1-x+x^2)^{-1} = 1 + x(1 - x)/(1 - x + x^2) であることなどから問題の等式が導かれます。
また， \{a_n\} の一般項が以下のようになることを示すことができます。

{ \displaystyle a_n = \begin{cases} 1 & (n=0,5,6,11,12,17, ...) \\ 0 & (n=1,4,7,10,13,16, ...) \\ -1 & (n=2,3,8,9,14,15, ...) \\ \end{cases} }
これは漸化式 a_{n + 2} = a_{n + 1} - a_n の成立に着目すると得られます。
そもそもこの問題は (1-x+x^2)^{-1} をマクローリン展開した際の n 次の項の係数が \sum_{k=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} (-1)^k \binom{n - k}{k} であることを発見したのがきっかけで作った問題でした（すっかり忘れてた）。詳しい話は時間があるときに追記するかもしれません。


・問題 (20170702)

・解答

\displaystyle \lim_{x \to \infty} e^{x^{e^{-x^{e^{x^{e^{-x}}}}}}} = e.


・問題 (20170321)

・解答

\displaystyle x = \frac{1}{2} \left( 1+i-j+k \right) ,\ \frac{1}{2} \left( -1+i+j+k \right) .
この問題文，集合の定義に演算の定義を入れるべきではなかったですね…。

・解法例

力技で解く。 x=a+ib+jc+kd\ \ (a,\ b,\ c,\ d \in {\bf R}) とおいて左辺に代入し，右辺と係数を比較して連立すると

{ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} -2ab-c=0, \\ a^2-b^2-c^2-d^2+d=0, \\ -2ad+a=0, \\ 2ac-b+1=0 \end{array} \right. }
が得られる。これを解くと，
\displaystyle (a,\ b,\ c,\ d) = \left(\frac12,\ \frac12, -\frac12,\ \frac12 \right),\ \left(-\frac12,\ \frac12,\ \frac12,\ \frac12 \right)
となり，解が得られる。


・問題 (20170227)

・解答

\displaystyle \frac{1}{6} - \frac{1}{6} \left( \frac{1}{4} \right)^n.

・解法例

n\ (\ge 0) 回目のジャンプ終了時に両者が隣り合う丸太に乗っている確率を P_n，2つ離れた丸太に乗っている確率を Q_n，同じ丸太に乗っている確率を R_n とする。ただし最初の状態を n = 0 とする。このとき P_0 = 0,\ Q_0 = 1,\ R_0 = 0,\ P_1 = 3/8,\ Q_1 = 3/8,\ R_1 = 1/8 である。
また， n \ge 0 のとき

{ \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle P_{n+1} = \frac14 + \frac18 P_n + \frac18 Q_n, \\ \displaystyle Q_{n+1} = \frac14 + \frac18 P_n + \frac18 Q_n \end{array} \right. }
を満たすので， P_n = Q_n\ \ (n \ge 1) がわかる。
よって P_n = 1/3+(1/4)^n / 6 \ \ (n \ge 1) と解けるので，
{ \begin{eqnarray*} R_{n+1} &=& \frac14 - \frac18 P_n - \frac18 Q_n, \\ R_n &=& \frac14 - \frac14 P_{n-1} \hspace{3ex} (n \ge 2) \\ &=& \frac{1}{6} - \frac{1}{6} \left( \frac{1}{4} \right)^n. \end{eqnarray*} }
これは n = 1 のときにも成立する。


・問題 (20170212)

・補足

図の解説:
中心 {\rm O} の円について，直径の両端を {\rm A},\ {\rm B} とする。それから図のように点 {\rm C},\ {\rm D} をとり，半直線 {\rm AD} と円 {\rm O} との交点を {\rm E} とした。また， \theta = \angle {\rm DCE}.

・解答

{ \begin{eqnarray*} \theta &=& \tan^{-1} (\tan2^\circ \cdot \tan^2 65^\circ) \\ &=& \tan^{-1} \frac{(\sin 27^\circ - \sin 23^\circ ) \sin 65^\circ}{(\sin 27^\circ + \sin 23^\circ ) \cos 65^\circ} \\ &=& \tan^{-1} \frac{2\cos 88^\circ-\cos 42^\circ+\cos 38^\circ}{2\sin 88^\circ-\sin 42^\circ-\sin 38^\circ} \\ &=& (9.123652...)^\circ \\ &=& 0.1592377679...\ ({\rm rad}). \end{eqnarray*} }


・問題 (20160821)

・解答

例えば a_{n+3} = a_n + 2a_{n+1} などの関係を用いれば以下の式がすべて示せる。

{ \hspace{1.5 ex} (1) \hspace{1 ex} a_{10} = 54 \\ \hspace{1.5 ex} (2) \hspace{1 ex} \displaystyle b_n = \frac{1}{\sqrt{5}} \left\{ \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^n - \left( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)^n \right\} \\ \hspace{1.5 ex} (3) \hspace{1 ex} \displaystyle a_n = -(-1)^n + \frac{1}{\sqrt{5}} \left\{ \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^n - \left( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)^n \right\} \\ \hspace{1.5 ex} (4) \hspace{1 ex} \displaystyle c_n = 1 + \frac{(-1)^n}{\sqrt{5}} \left\{ \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^n - \left( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)^n \right\}. }

\{b_n\} はふぃぼなっちすーれつちゃんですね。


・問題 (20160810)

・解答

以下， C は積分定数。
{ \hspace{1.5 ex} (1) \hspace{1 ex} x e^{x^2} + C \\ \hspace{1.5 ex} (2) \hspace{1 ex} x^3 e^{x^2} + C \\ \hspace{1.5 ex} (3) \hspace{1 ex} e^3. \\ }


・問題 (20160217)

・解答

33 : 4.


・問題 (20160215)

・解答

x - y = a,\ y - z = b とおけば， z - x = - (a + b) なので，
A = (x-y)^5+(y-z)^5+(z-x)^5,\ B = 5(x-y)(y-z)(z-x) とおくと，

{ \begin{eqnarray*} A &=& a^5 + b^5 + (- (a + b))^5 \\ &=& -5 a^4 b - 10 a^3 b^2 - 10 a^2 b^3 - 5 a b^4 \\ &=& -5 a b (a^3 + 2 a^2 b + 2 a b^2 + b^3) \\ &=& -5 a b (a + b) (a^2 + a b + b^2). \end{eqnarray*} }

A,\ B,\ (a^2 + a b + b^2) はいずれも整数であり， a,\ b,\ (a+b),\ (a^2+ab+b^2) はいずれも 0 でない。
よって B = -5 a b (a + b) より， B は A の約数。