Twitterに投下した問題の解答

最終更新日: 2017/12/21

・問題 (20171121)

・補足

この問題では  0/0=1 とします。

・解答

すみません……これ自力で解けないです……
 \{a_n\} の一般項が以下のようになることを示せばよいのですが……

 {
  \displaystyle
  a_n = \begin{cases}
    1 & (n=0,5,6,11,12,17, ...) \\
    0 & (n=1,4,7,10,13,16, ...) \\
    -1 & (n=2,3,8,9,14,15, ...) \\
  \end{cases}
}
この証明を出来る人がいましたら,ご教示頂けますと嬉しいです。

・問題 (20170702)

・解答

 \displaystyle \lim_{x \to \infty} e^{x^{e^{-x^{e^{x^{e^{-x}}}}}}} = e.


・問題 (20170321)

・解答

 \displaystyle x = \frac{1}{2} \left( 1+i-j+k \right) ,\ \frac{1}{2} \left( -1+i+j+k \right) .
この問題文,集合の定義に演算の定義を入れるべきではなかったですね…。


・問題 (20170227)

・解答

 \displaystyle \frac{1}{6} - \frac{1}{6} \left( \frac{1}{4} \right)^n.


・問題 (20170212)

・補足

図の解説:
中心  {\rm O} の円について,直径の両端を  {\rm A},\ {\rm B} とする。それから図のように点  {\rm C},\ {\rm D} をとり,半直線  {\rm AD} と円  {\rm O} との交点を  {\rm E} とした。また, \theta = \angle {\rm DCE}.

・解答

{
  \begin{eqnarray*}
    \theta &=& \tan^{-1} (\tan2^\circ \cdot \tan^2 65^\circ) \\
    &=& \tan^{-1} \frac{(\sin 27^\circ - \sin 23^\circ ) \sin 65^\circ}{(\sin 27^\circ + \sin 23^\circ ) \cos 65^\circ} \\
    &=& \tan^{-1} \frac{2\cos 88^\circ-\cos 42^\circ+\cos 38^\circ}{2\sin 88^\circ-\sin 42^\circ-\sin 38^\circ} \\
    &=& (9.123652...)^\circ \\
    &=& 0.1592377679...\ ({\rm rad}).
  \end{eqnarray*}
}


・問題 (20160821)

・解答

例えば  a_{n+3} = a_n + 2a_{n+1} などの関係を用いれば以下の式がすべて示せる。

 {
  \hspace{1.5 ex} (1) \hspace{1 ex} a_{10} = 54 \\
  \hspace{1.5 ex} (2) \hspace{1 ex} \displaystyle b_n = \frac{1}{\sqrt{5}} \left\{ \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^n - \left( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)^n \right\} \\
  \hspace{1.5 ex} (3) \hspace{1 ex} \displaystyle a_n =  -(-1)^n + \frac{1}{\sqrt{5}} \left\{ \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^n - \left( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)^n \right\} \\
  \hspace{1.5 ex} (4) \hspace{1 ex} \displaystyle c_n = 1 + \frac{(-1)^n}{\sqrt{5}} \left\{ \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^n - \left( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)^n \right\}.
}

 \{b_n\} はふぃぼなっちすーれつちゃんですね。


・問題 (20160810)

・解答

以下, C積分定数
{
  \hspace{1.5 ex} (1) \hspace{1 ex} x e^{x^2} + C \\
  \hspace{1.5 ex} (2) \hspace{1 ex} x^3 e^{x^2} + C \\
  \hspace{1.5 ex} (3) \hspace{1 ex} e^3. \\
}


・問題 (20160217)

・解答

 33 : 4.


・問題 (20160215)

・解答

 x - y = a,\ y - z = b とおけば, z - x = - (a + b) なので,
 A = (x-y)^5+(y-z)^5+(z-x)^5,\ B = 5(x-y)(y-z)(z-x) とおくと,

 {
  \begin{eqnarray*}
    A &=& a^5 + b^5 + (- (a + b))^5 \\
    &=& -5 a^4 b - 10 a^3 b^2 - 10 a^2 b^3 - 5 a b^4 \\
    &=& -5 a b (a^3 + 2 a^2 b + 2 a b^2 + b^3) \\
    &=& -5 a b (a + b) (a^2 + a b + b^2).
  \end{eqnarray*}
}

 A,\ B,\ (a^2 + a b + b^2) はいずれも整数であり, a,\ b,\ (a+b),\ (a^2+ab+b^2) はいずれも  0 でない。
よって  B = -5 a b (a + b) より, B A の約数。