Twitterに投下した問題の解答

・問題 (20180731)

・解答

 {
\begin{equation*}
    \left\{
        \begin{alignedat}{1}
            & \,\ y = \sqrt{3} x - 1 - \sqrt{3}, \\
            & \,\ y = -\frac{\sqrt{3}}{3} x + \frac{9 - 3 \sqrt{3}}{9}, \\
            & \,\ y = -\frac{24 + 13 \sqrt{3}}{23} x + \frac{47 - 8 \sqrt{2} + 13 \sqrt{3} - 12 \sqrt{6}}{23}, \\
            & \,\ y = -\frac{24 + 13 \sqrt{3}}{23} x + \frac{47 + 8 \sqrt{2} + 13 \sqrt{3} + 12 \sqrt{6}}{23}.
        \end{alignedat}
    \right.
\end{equation*}
}
上の2つが共通内接線,下2つが共通外接線です。

問題文の前者の楕円の対称の中心は点  (1, 1) であり,長軸と  x 軸はちょうど  30^\circ の角をなしています。問題文の2つの楕円をそれぞれ  x 軸方向に  -1 y 軸方向に  -1 平行移動したあと原点を中心にして反時計回りに  30^\circ 回転させ,さらに  y 軸方向に  3/2 倍に拡大すれば,2つの楕円は円  x^2 + y^2 = 1 と楕円  4x^2 + 6xy + 4y^2 - 6x + 6y + 11 = 0 にそれぞれ重なります。この円と楕円の共通接線は, x = 1,\ y = -1 および  x + y = \pm \sqrt{2} の4本です。


・問題 (20180220)

・解答

 \angle {\rm ABF} = 150^\circ.


・問題 (20171121)

・補足

この問題では  0/0=1 とします。

・解答

すみません……これ自力で解けないです……
 \{a_n\} の一般項が以下のようになることを示せばよいのですが……

 {
  \displaystyle
  a_n = \begin{cases}
    1 & (n=0,5,6,11,12,17, ...) \\
    0 & (n=1,4,7,10,13,16, ...) \\
    -1 & (n=2,3,8,9,14,15, ...) \\
  \end{cases}
}
この証明を出来る人がいましたら,ご教示頂けますと嬉しいです。

・追記 (2018年10月11日)

 (1-x+x^2)^{-1} の展開が  \sum_{n=0}^\infty \sum_{k=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} (-1)^k \binom{n - k}{k} x^n であることや,
 (1-x+x^2)^{-1} = 1 + x(1 - x)/(1 - x + x^2) であることなどから問題の等式が導かれます。そもそもこの問題は  (1-x+x^2)^{-1}マクローリン展開した際の  n 次の項の係数が  \sum_{k=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} (-1)^k \binom{n - k}{k} であることを発見したのがきっかけで作った問題でした(すっかり忘れてた)。詳しい話は時間があるときに追記するかもしれません。


・問題 (20170702)

・解答

 \displaystyle \lim_{x \to \infty} e^{x^{e^{-x^{e^{x^{e^{-x}}}}}}} = e.

・問題 (20170321)

・解答

 \displaystyle x = \frac{1}{2} \left( 1+i-j+k \right) ,\ \frac{1}{2} \left( -1+i+j+k \right) .
この問題文,集合の定義に演算の定義を入れるべきではなかったですね…。

・解法例

力業で解く。 x=a+ib+jc+kd\ \ (a,\ b,\ c,\ d \in {\bf R}) とおいて左辺に代入し,右辺と係数を比較して連立すると

 {
  \displaystyle \left\{
  \begin{array}{l}
    -2ab-c=0, \\
    a^2-b^2-c^2-d^2+d=0, \\
    -2ad+a=0, \\
    2ac-b+1=0
  \end{array}
  \right.
}
が得られる。これを解くと,
 \displaystyle (a,\ b,\ c,\ d) = \left(\frac12,\ \frac12, -\frac12,\ \frac12 \right),\ \left(-\frac12,\ \frac12,\ \frac12,\ \frac12 \right)
となり,解が得られる。


・問題 (20170227)

・解答

 \displaystyle \frac{1}{6} - \frac{1}{6} \left( \frac{1}{4} \right)^n.

・解法例

 n\ (\ge 0) 回目のジャンプ終了時に両者が隣り合う丸太に乗っている確率を  P_n,2つ離れた丸太に乗っている確率を  Q_n,同じ丸太に乗っている確率を  R_n とする。ただし最初の状態を  n = 0 とする。このとき  P_0 = 0,\ Q_0 = 1,\ R_0 = 0,\ P_1 = 3/8,\ Q_1 = 3/8,\ R_1 = 1/8 である。
また, n \ge 0 のとき

 {
  \left\{
  \begin{array}{l}
    \displaystyle P_{n+1} = \frac14 + \frac18 P_n + \frac18 Q_n, \\
    \displaystyle Q_{n+1} = \frac14 + \frac18 P_n + \frac18 Q_n
  \end{array}
  \right.
}
を満たすので, P_n = Q_n\ \ (n \ge 1) がわかる。
よって  P_n = 1/3+(1/4)^n / 6 \ \ (n \ge 1) と解けるので,
 {
  \begin{eqnarray*}
    R_{n+1} &=& \frac14 - \frac18 P_n - \frac18 Q_n, \\
    R_n &=& \frac14 - \frac14 P_{n-1} \hspace{3ex} (n \ge 2) \\
    &=& \frac{1}{6} - \frac{1}{6} \left( \frac{1}{4} \right)^n.
  \end{eqnarray*}
}
これは  n = 1 のときにも成立する。

・問題 (20170212)

・補足

図の解説:
中心  {\rm O} の円について,直径の両端を  {\rm A},\ {\rm B} とする。それから図のように点  {\rm C},\ {\rm D} をとり,半直線  {\rm AD} と円  {\rm O} との交点を  {\rm E} とした。また, \theta = \angle {\rm DCE}.

・解答

{
  \begin{eqnarray*}
    \theta &=& \tan^{-1} (\tan2^\circ \cdot \tan^2 65^\circ) \\
    &=& \tan^{-1} \frac{(\sin 27^\circ - \sin 23^\circ ) \sin 65^\circ}{(\sin 27^\circ + \sin 23^\circ ) \cos 65^\circ} \\
    &=& \tan^{-1} \frac{2\cos 88^\circ-\cos 42^\circ+\cos 38^\circ}{2\sin 88^\circ-\sin 42^\circ-\sin 38^\circ} \\
    &=& (9.123652...)^\circ \\
    &=& 0.1592377679...\ ({\rm rad}).
  \end{eqnarray*}
}


・問題 (20160821)

・解答

例えば  a_{n+3} = a_n + 2a_{n+1} などの関係を用いれば以下の式がすべて示せる。

 {
  \hspace{1.5 ex} (1) \hspace{1 ex} a_{10} = 54 \\
  \hspace{1.5 ex} (2) \hspace{1 ex} \displaystyle b_n = \frac{1}{\sqrt{5}} \left\{ \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^n - \left( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)^n \right\} \\
  \hspace{1.5 ex} (3) \hspace{1 ex} \displaystyle a_n =  -(-1)^n + \frac{1}{\sqrt{5}} \left\{ \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^n - \left( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)^n \right\} \\
  \hspace{1.5 ex} (4) \hspace{1 ex} \displaystyle c_n = 1 + \frac{(-1)^n}{\sqrt{5}} \left\{ \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^n - \left( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)^n \right\}.
}

 \{b_n\} はふぃぼなっちすーれつちゃんですね。


・問題 (20160810)

・解答

以下, C積分定数
{
  \hspace{1.5 ex} (1) \hspace{1 ex} x e^{x^2} + C \\
  \hspace{1.5 ex} (2) \hspace{1 ex} x^3 e^{x^2} + C \\
  \hspace{1.5 ex} (3) \hspace{1 ex} e^3. \\
}


・問題 (20160217)

・解答

 33 : 4.


・問題 (20160215)

・解答

 x - y = a,\ y - z = b とおけば, z - x = - (a + b) なので,
 A = (x-y)^5+(y-z)^5+(z-x)^5,\ B = 5(x-y)(y-z)(z-x) とおくと,

 {
  \begin{eqnarray*}
    A &=& a^5 + b^5 + (- (a + b))^5 \\
    &=& -5 a^4 b - 10 a^3 b^2 - 10 a^2 b^3 - 5 a b^4 \\
    &=& -5 a b (a^3 + 2 a^2 b + 2 a b^2 + b^3) \\
    &=& -5 a b (a + b) (a^2 + a b + b^2).
  \end{eqnarray*}
}

 A,\ B,\ (a^2 + a b + b^2) はいずれも整数であり, a,\ b,\ (a+b),\ (a^2+ab+b^2) はいずれも  0 でない。
よって  B = -5 a b (a + b) より, B A の約数。