2018-07-30

桁落ちを回避できない複素数係数二次方程式

数学

方程式の数値解を有効数字の限られたコンピュータで求める際，どうしても誤差はつきものです。

今回この記事では，複素数係数の二次方程式 $a x^2 + b x + c = 0\ (a \neq 0)$ の数値解を解の公式を用いて求める際に，桁落ちを簡単に回避できない場合があるという話をします。

2018-03-11

ガロア体GF(2^2), GF(2^3), GF(2^4)の加算表

数学

手計算の時短のために加算表(addition table)を作りました。ご活用ください。
なお，表に出てくる $\alpha$ は原始多項式 $f$ の根です。
もし間違いがありましたら，容赦なく指摘してくださると助かります。

2018-02-24

正の整数を3つの正の整数の平方和・2つの正の整数の平方和へ分解する

数学

前回の記事: 正の整数を4つの正の整数の平方和へ分解する - 冷水催眠

前回の記事の3つ及び2つの場合を記事にしました。

例えば， $41$ という正の整数は $4^2 + 4^2 + 3^2,\ \ 6^2 + 2^2 + 1^2$ というように3つの正の整数の平方和の形で2通りに表すことができます。
また， $41 = 5^2 + 4^2$ というように2つの正の整数の平方和の形でも書くことができます。このように，与えられた正の整数 $m$ に対し

${ m = a^2 + b^2 + c^2 }$

もしくは

${ m = d^2 + e^2 }$

を満たす正の整数の組 $(a, b, c),\ (d, e)$ のリストをそれぞれ $1 \le m \le 250$ の範囲で以下に列挙しました。以下のリストでは $\hspace{0.2 ex} a \ge b \ge c \hspace{0.2 ex}$ ，および $\hspace{0.2 ex} d \ge e \hspace{0.2 ex}$ を満たすように数字を並べました。ぜひぜひぜひぜひご活用ください。

2018-02-23

正の整数を4つの正の整数の平方和へ分解する

数学

例えば， $99$ という正の整数は

${ \begin{eqnarray*} 99 &=& 7^2 + 5^2 + 4^2 + 3^2 \\ &=& 8^2 + 5^2 + 3^2 + 1^2 \\ &=& 9^2 + 4^2 + 1^2 + 1^2 \end{eqnarray*} }$

というように4つの正の整数の平方和の形で3通りに書くことができます。

このように，正の整数 $m$ に対し，

${ m = a^2 + b^2 + c^2 + d^2 }$

が成り立つような正の整数の組 $(a, b, c, d)$ のリストを， $1 \le m \le 200$ の範囲で以下に列挙しました。ぜひご活用ください。

以下のリストはすべて降順 $(a \ge b \ge c \ge d)$ で並べています。また， $m = 1, 2, 3, 5, 6, 8, 9, 11, 14, 17, 24, 29, 32, 41, 56, 96, 128$ の場合は4つの正の整数の平方和の形で書けないので飛ばしています。プログラムのミスによる抜け漏れ等あるかもしれませんがご了承ください。