三乗根の二重根号を外す

三乗根の二重根号を外すことになったことはありませんか?

実は大きい数の二重根号を外すのはとても面倒なのです。なるべく簡単に外したいものです。*1


この記事では,一番よく目にする(と思われる) \sqrt[3]{a+b\sqrt{c}} の形の二重根号を外すことを考えてみます。


例題:  \ \displaystyle \alpha = \sqrt[3]{386+225\sqrt{7}} の二重根号を外せ。


1つの解き方に,こんなものがあります。*2

  \displaystyle \beta = \sqrt[3]{386-225\sqrt{7}} とおくと

 \alpha^3+\beta^3 = (\alpha+\beta)^3-3\alpha\beta(\alpha+\beta) = 772

  \displaystyle \alpha\beta = \sqrt[3]{-205379} = -59 より,

 (\alpha+\beta)^3+177(\alpha+\beta) - 772 = 0 \\ (\alpha+\beta-4)\left\{(\alpha+\beta)^2+4(\alpha+\beta)+193\right\} = 0

 \alpha+\beta は実数なので, \alpha+\beta = 4

よって, \alpha,\ \beta t についての方程式  t^2-4t-59=0 の解となる。

したがって, \alpha>\beta より  \ \alpha=2+3\sqrt{7}


さて,一箇所クソみたいなところがありました。

 \sqrt[3]{-205379}=-59 なんて手計算でやるにはちょっと無理があります。私のようなマゾ豚でも電卓を使いたくなります。

ちなみに, \sqrt{ }ボタンのある電卓であれば
 (適当な数)×(数字)=\sqrt{ }\sqrt{ }×(数字)=\sqrt{ }\sqrt{ }×(数字)=\sqrt{ }\sqrt{ }・・・
というように押すと (数字)の三乗根が計算できます。



そこで,0でない整数  p,\,q を用いて  \sqrt[3]{386+225\sqrt{7}}=p+q\sqrt{7} とおいてみましょう。(もちろん整数の範囲で三乗根を外せるとは限りませんが、今回は整数であることを期待して考えています。)

※見やすさのために  \sqrt{7} を後ろに置いています。


両辺を3乗すると,

{
\begin{align}
    386+225\sqrt{7} &= (p+q\sqrt{7})^3 \\
     &= p^3+3p^2q\sqrt{7}+21pq^2+7q^3\sqrt{7} \\
     &= (p^2+21q^2)p+(3p^2+7q^2)q\sqrt{7}
\end{align}
}

が得られます。  (p^2+21q^2)p,\ (3p^2+7q^2)q は整数なので、両辺を比較して

{
\begin{cases}
    386=(p^2+21q^2)p \hspace{100px}(1) \\
    225=(3p^2+7q^2)q \hspace{100px}(2)
\end{cases}
}

を満たす整数  p,\,q を見つければよいことがわかります。


ここからは  p,\,q の候補を絞っていきます。

まず, p^2+21q^2>0, \hspace{10px} 3p^2+7q^2>0 から  p>0,\ \ q>0 が分かります。

よって式  (2) から,  q 225 の正の約数  であることが分かります。

次に,式  (2) p^2 について解いてみると

 \displaystyle p^2 = \frac{1}{3} \left( \frac{225}{q}-7q^2 \right)

となります。 p^2>0, \hspace{10px} q>0 なので, \displaystyle \frac{225}{q}-7q^2>0 であり,これは

 \displaystyle 0 < q < \sqrt[3]{ \frac{225}{7} }

と変形できます。したがって  \displaystyle 3^3 < \frac{225}{7} < 4^3 より,  1 \le q \le 3  であることが分かりました。


四角で囲んだ2つの条件を両方満たすような整数  q q = 1,\,3 のみです。

 q = 1 のとき

 \displaystyle p^2 = \frac{1}{3} \left( \frac{225}{1}-7・1^2 \right) = \frac{218}{3}

となり,  p が整数であることに反します。

 q = 3 のとき

 \displaystyle p^2 = \frac{1}{3} \left( \frac{225}{3}-7・3^2 \right) = 4

となり  p = 2, \hspace{10px} q = 3 が候補として得られます。


これを  (1) に代入すると

 (p^2+21q^2)p = (4+21・9)・2=386

となり,この解が正しいことが確かめられました。


以上より, \sqrt[3]{386+225\sqrt{7}}=2+3\sqrt{7} と二重根号を外すことができます。


 \sqrt[3]{-205379}=-59 より簡単でしょう?*3


なお,この手順で  p,\,q が見つからなければ整数係数では二重根号を外すことはできません。諦めましょう。*4


ついでにもう1問やってみましょう。

例題:  \ \displaystyle \alpha = \sqrt[3]{100-51\sqrt{3}} の二重根号を外せ。


[解法 1]

\ \alpha=p-q\sqrt{3} p,\,q は0でない整数)とおく。このとき,

  { \displaystyle
\begin{align} 
    \alpha^3=100-51\sqrt{3}&=(p-q\sqrt{3})^3 \\
    &=(p^2+9q^2)p-3(p^2+q^2)q\sqrt{3}
\end{align}
}

両辺を比較すると, (p^2+9q^2)p,\ -3(p^2+q^2)q は整数なので

100=(p^2+9q^2)p\tag{1}
17=(p^2+q^2)q\tag{2}

 p^2+9q^2,\hspace{1ex}p^2+q^2>0 より, p>0,\ q>0 である。

 (2) p^2 について解くと  \displaystyle p^2=\frac{17}{q}-q^2\tag{3}

 p^2>0 だから  \displaystyle \frac{17}{q}-q^2>0 ,すなわち  q^3<17\tag{4}

が成り立ち, (3),\ (4) より   q 17 の正の約数   1 \le q \le 2  が分かる。

よって  q=1 のときのみを考えればよい。

 q=1 (3) に代入すると  p=4 が得られ, (p,\ q)=(4,\ 1) (2) が成り立つ。

 (p,\ q)=(4,\ 1) (1) に代入すると  (16+9)・4=100 となり  (1) も成り立つ。

したがって, \alpha=4-\sqrt{3}


答:  \ \alpha=4-\sqrt{3}


[解法 2]

\ \alpha=p-q\sqrt{3} p,\,q は0でない整数)とおく。このとき,

  { \displaystyle
\begin{align} 
    \alpha^3=100-51\sqrt{3}&=(p-q\sqrt{3})^3 \\
    &=(p^2+9q^2)p-3(p^2+q^2)q\sqrt{3}
\end{align}
}

両辺を比較すると, (p^2+9q^2)p,\ -3(p^2+q^2)q は整数なので

100=(p^2+9q^2)p\tag{1}
17=(p^2+q^2)q\tag{2}

 p^2+9q^2,\hspace{1ex}p^2+q^2>0 より, p>0,\ q>0 である。

 (2) において  17素数なので, p^2+q^2=17,\ q=1 または  p^2+q^2=1,\ q=17 が成り立たなければならないが,明らかに後者は不適。

前者を解くと  p=4,\ q=1 となり,このとき  (2) が成り立つ。

これを  (1) に代入すると  (p^2+9q^2)p=25・4=100 となり, (1) も成り立つ。

したがって, \alpha=4-\sqrt{3}


答:  \ \alpha=4-\sqrt{3}


この問題で  \ \displaystyle \beta = \sqrt[3]{100+51\sqrt{3}} とおく手法を使うと  \sqrt[3]{2197} x^3-39x-200=0 を計算することになります。これはまだ手計算の許容範囲でしょうか。


この記事では2つ目の式から  p が整数になる  q を探しましたが,逆に1つ目の式から  q が整数になる  p を探してももちろんOKです。

不等式から範囲を求めるのが面倒くさければ,約数を  1 から昇順に代入していくだけでもなんとかなるかもしれません。


ちなみに同様の考え方で  \alpha=\sqrt[3]{a\sqrt{b}+c\sqrt{d}} という形の二重根号も  \alpha=p\sqrt{b}+q\sqrt{d} とおくことで求められます!


<2018/06/19> 不正確な記述を一部修正しました。


*1:ここでいう"簡単に"とは,なるべく大きい数字を扱わずにという程度の意味で使っています。

*2:参考文献: http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/rootjpg/doublerootsign.htm

*3:個人差があります。

*4:有理数係数ならうまく外せることがあります。例えば,p=1/2 などとしてうまくいくケースもあります。