三乗根の二重根号を外す

三乗根の二重根号を外すことになったことはありませんか?

実は大きい数の二重根号を外すのはとても面倒なのです。なるべく簡単に外したいものです。*1


この記事では、一番よく目にする(と思われる) \sqrt[3]{a+b\sqrt{c}} の形の二重根号を外すことを考えてみます。

カルダノの公式で三乗根をとるときにたまに使えます。


例題:  \ \displaystyle \alpha = \sqrt[3]{386+225\sqrt{7}} の二重根号を外せ。


1つの解き方に、こんなものがあります。*2

  \displaystyle \beta = \sqrt[3]{386-225\sqrt{7}} とおくと

 \alpha^3+\beta^3 = (\alpha+\beta)^3-3\alpha\beta(\alpha+\beta) = 772

  \displaystyle \alpha\beta = \sqrt[3]{-205379} = -59 より

 (\alpha+\beta)^3+177(\alpha+\beta) - 772 = 0 \\ (\alpha+\beta-4)\left\{(\alpha+\beta)^2+4(\alpha+\beta)+193\right\} = 0

 \alpha+\beta は実数なので  \alpha+\beta = 4

よって  \alpha,\ \beta t についての方程式  t^2-4t-59=0 の解となる。

したがって  \alpha>\beta より  \alpha=2+3\sqrt{7}


さて、一箇所クソみたいなところがありました。

 \sqrt[3]{-205379}=-59 なんてどこの変態さんが気づくんですかね?

手計算でやるにはちょっと無理があります。私のようなマゾ豚でも電卓を使いたくなります。

ちなみに \sqrt{ }しかない電卓でも
 (適当な数)×(数字)=\sqrt{ }\sqrt{ }×(数字)=\sqrt{ }\sqrt{ }×(数字)=\sqrt{ }\sqrt{ }・・・って押すと(数字)の三乗根が計算できます。



そこで考えてみるのが、0でない整数  p,\ q を用いて  \sqrt[3]{386+225\sqrt{7}}=p+q\sqrt{7} とおく方法です。

右辺の \sqrt{ }の中は必ず左辺の \sqrt{ }の中と同じになるのでそのまま  \sqrt{7} にしてOKです。

※見やすさのために  p,\ q を数字と見て  \sqrt{7} を後ろに書いています。


両辺3乗して

{
\begin{align}
    386+225\sqrt{7} &= (p+q\sqrt{7})^3 \\
     &= p^3+3p^2q\sqrt{7}+21pq^2+7q^3\sqrt{7} \\
     &= (p^2+21q^2)p+(3p^2+7q^2)q\sqrt{7}
\end{align}
}

と変形します。あとは両辺を見比べて

{
\begin{cases}
    \ 386=(p^2+21q^2)p \hspace{100px}(1) \\
    \ 225=(3p^2+7q^2)q \hspace{100px}(2)
\end{cases}
}

を満たす整数  p,\ q を見つけるだけです。


ここからは  p,\ q候補を絞っていきます。

まず、 p^2+21q^2>0, \hspace{10px} 3p^2+7q^2>0 から  p>0,\ \ q>0 が分かります。

そして式  (2) から、  q 225 の約数  であることが分かります。

次に、式  (2) p^2 について解いてみると

 \displaystyle p^2 = \frac{1}{3} \left( \frac{225}{q}-7q^2 \right)

となります。 p^2>0, \hspace{10px} q>0 なので、 \displaystyle \frac{225}{q}-7q^2>0 であり、これは

 \displaystyle 0 < q < \sqrt[3]{ \frac{225}{7} }

と変形できます。

 \displaystyle 3^3 < \frac{225}{7} < 4^3 なので、  1 \le q \le 3  であることが分かりました。


四角で囲んだ2つの条件を両方満たすのは  q = 1,\ 3 です。

 q = 1 のとき

 \displaystyle p^2 = \frac{1}{3} \left( \frac{225}{1}-7・1^2 \right) = \frac{218}{3}

となり  p は整数に反する。

 q = 3 のとき

 \displaystyle p^2 = \frac{1}{3} \left( \frac{225}{3}-7・3^2 \right) = 4

となり  p = 2, \hspace{10px} q = 3候補として得られます。


これを  (1) に代入すると

 (p^2+21q^2)p = (4+21・9)・2=386

となり、この解が正しいことが確かめられました。


以上より、 \sqrt[3]{386+225\sqrt{7}}=2+3\sqrt{7} と二重根号を外すことができます。


 \sqrt[3]{-205379}=-59 より簡単でしょ?


なお、 p,\ q が見つからなければ整数係数で二重根号を外すことはできません。諦めましょう。


ついでにもう1問やってみましょう。

例題:  \ \displaystyle \alpha = \sqrt[3]{100-51\sqrt{3}} の二重根号を外せ。


[解法 1]

\ \alpha=p-q\sqrt{3} p,\ q は整数)とおく。

{ \displaystyle
\begin{align} 
    \alpha^3=100-51\sqrt{3}&=(p-q\sqrt{3})^3 \\
    &=(p^2+9q^2)p-3\sqrt{3}(p^2+q^2)q
\end{align}
}

両辺を見比べると

 100=(p^2+9q^2)p\tag{1}
 17=(p^2+q^2)q\tag{2}

これより  p>0,\ q>0 である。
 (2) p^2 について解くと  \displaystyle p^2=\frac{17}{q}-q^2\tag{3}

 p^2>0 だから、  \displaystyle \frac{17}{q}-q^2>0 すなわち  q^3<17\tag{4}

が成り立ち、 (3),\ (4) より   q 17 の約数   1 \le q \le 2  が分かる。

よって  q=1 のときのみを考えればよい。

 q=1 (3) に代入すると  p=4 が得られ、 (p,\ q)=(4,\ 1) (2) が成り立つ。

 (p,\ q)=(4,\ 1) (1) に代入すると  (16+9)・4=100 となり  (1) も成り立つ。

したがって  \alpha=4-\sqrt{3}


答:  \ \alpha=4-\sqrt{3}


[解法 2]

\ \alpha=p-q\sqrt{3} p,\ q は整数)とおく。

{ \displaystyle
\begin{align} 
    \alpha^3=100-51\sqrt{3}&=(p-q\sqrt{3})^3 \\
    &=(p^2+9q^2)p-3\sqrt{3}(p^2+q^2)q
\end{align}
}

両辺を見比べると

 100=(p^2+9q^2)p\tag{1}
 17=(p^2+q^2)q\tag{2}

これより  p>0,\ q>0 である。

 17素数なので、 p^2+q^2=17,\ q=1 または  p^2+q^2=1,\ q=17 であるが、明らかに後者は不適。

よって  p=4,\ q=1 (2) が成り立つ。

これを  (1) に代入すると  (p^2+9q^2)p=25・4=100 となり  (1) も成り立つ。

したがって  \alpha=4-\sqrt{3}


答:  \ \alpha=4-\sqrt{3}


この問題で  \ \displaystyle \beta = \sqrt[3]{100+51\sqrt{3}} とおく方法を使うと  \sqrt[3]{2197} x^3-39x-200=0 を計算することになります。これはまだ手計算の許容範囲でしょうか。


この記事では2つ目の式から  p が整数になる  q を探しましたが、逆に1つ目の式から  q が整数になる  p を探してももちろんOKです。

不等式から範囲を求めるのが面倒くさければ、約数を 1から昇順に代入していくだけでもOKです。ただし計算した値が負になった時点でその式は整数係数で二重根号を外せないということになります。


ちなみに同様の考え方で  \alpha=\sqrt[3]{a\sqrt{b}+c\sqrt{d}} という形の二重根号も  \alpha=p\sqrt{b}+q\sqrt{d} とおくことで求められます!


*1:ここでいう"簡単に"とは、なるべく大きい数字を扱わずにという程度の意味で使っています。

*2:参考文献: http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/rootjpg/doublerootsign.htm