正の整数を3つの正の整数の平方和・2つの正の整数の平方和へ分解する

前回の記事: 正の整数を4つの正の整数の平方和へ分解する - 冷水催眠

前回の記事の3つ及び2つの場合を記事にしました。


例えば, 41 という正の整数は  4^2 + 4^2 + 3^2,\ \ 6^2 + 2^2 + 1^2 というように3つの正の整数の平方和の形で2通りに表すことができます。
また, 41 = 5^2 + 4^2 というように2つの正の整数の平方和の形でも書くことができます。このように,与えられた正の整数  m に対し

 {
  m = a^2 + b^2 + c^2
}

もしくは

 {
  m = d^2 + e^2
}

を満たす正の整数の組  (a, b, c),\ (d, e) のリストをそれぞれ  1 \le m \le 250 の範囲で以下に列挙しました。以下のリストでは  \hspace{0.2 ex} a \ge b \ge c \hspace{0.2 ex},および  \hspace{0.2 ex} d \ge e \hspace{0.2 ex} を満たすように数字を並べました。ぜひぜひぜひぜひご活用ください。

リスト(3つの正の整数の平方和で表す)

[m] (a, b, c)
――――――――――
[3] (1, 1, 1)
[6] (2, 1, 1)
[9] (2, 2, 1)
[11] (3, 1, 1)
[12] (2, 2, 2)
[14] (3, 2, 1)
[17] (3, 2, 2)
[18] (4, 1, 1)
[19] (3, 3, 1)
[21] (4, 2, 1)
[22] (3, 3, 2)
[24] (4, 2, 2)
[26] (4, 3, 1)
[27] (3, 3, 3), (5, 1, 1)
[29] (4, 3, 2)
[30] (5, 2, 1)
[33] (4, 4, 1), (5, 2, 2)
[34] (4, 3, 3)
[35] (5, 3, 1)
[36] (4, 4, 2)

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正の整数を4つの正の整数の平方和へ分解する

例えば, 99 という正の整数は

 {
\begin{eqnarray*}
  99 &=& 7^2 + 5^2 + 4^2 + 3^2 \\
  &=& 8^2 + 5^2 + 3^2 + 1^2 \\
  &=& 9^2 + 4^2 + 1^2 + 1^2
\end{eqnarray*}
}

というように4つの正の整数の平方和の形で3通りに書くことができます。

このように,正の整数  m に対し,

 {
  m = a^2 + b^2 + c^2 + d^2
}

が成り立つような正の整数の組  (a, b, c, d) のリストを, 1 \le m \le 200 の範囲で以下に列挙しました。ぜひご活用ください。

以下のリストはすべて降順  (a \ge b \ge c \ge d) で並べています。また, m = 1, 2, 3, 5, 6, 8, 9, 11, 14, 17, 24, 29, 32, 41, 56, 96, 128 の場合は4つの正の整数の平方和の形で書けないので飛ばしています。プログラムのミスによる抜け漏れ等あるかもしれませんがご了承ください。

リスト(4つの正の整数の平方和で表す)

[m] (a, b, c, d)
――――――――――
[4] (1, 1, 1, 1)
[7] (2, 1, 1, 1)
[10] (2, 2, 1, 1)
[12] (3, 1, 1, 1)
[13] (2, 2, 2, 1)
[15] (3, 2, 1, 1)
[16] (2, 2, 2, 2)
[18] (3, 2, 2, 1)
[19] (4, 1, 1, 1)
[20] (3, 3, 1, 1)
[21] (3, 2, 2, 2)
[22] (4, 2, 1, 1)
[23] (3, 3, 2, 1)
[25] (4, 2, 2, 1)
[26] (3, 3, 2, 2)
[27] (4, 3, 1, 1)
[28] (3, 3, 3, 1), (4, 2, 2, 2), (5, 1, 1, 1)
[30] (4, 3, 2, 1)
[31] (3, 3, 3, 2), (5, 2, 1, 1)
[33] (4, 3, 2, 2)
[34] (4, 4, 1, 1), (5, 2, 2, 1)
[35] (4, 3, 3, 1)
[36] (3, 3, 3, 3), (5, 3, 1, 1)

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「グリモア~私立グリモワール魔法学園~」のメダルチャレンジにおける確率分布 その2

前回の記事: 「グリモア~私立グリモワール魔法学園~」のメダルチャレンジにおける確率分布 その1 - 冷水催眠

記事が完成してたのに1ヶ月放置してしまった……
お久しぶりです。第2回の記事でございます。

前回まではシート数が  2 の場合に絞って計算してきましたが、今回はシート数を  n へと一般化して計算していきます。
計算の手順は前回の記事と全く同じなので、実質的に新しい内容はありません。まとまりのない記事ですが何卒ご容赦くださいませ。

・変数設定

まず、シート枚数を  n\ (\ge 1) とします。そして前回と同様に、各シートを  S_1,\ S_2,\ ...,\ S_n と名付け、各  S_i 内のアイテム数を  g_i とします。
このとき、最終シート(シート  n)の当たりアイテムを引くまでに必要な回数の最小値および最大値はそれぞれ  n 回,  \sum_{i=1}^n g_i 回となります。

また、確率変数  X_i S_i において当たりを引くまでに抽選した回数(当たりを引いた抽選を含む)として定義し、確率変数  X X = \sum_{i=1}^n X_i で定義します。この  X が、最終シートの当たりアイテムを引くまでに必要な回数を表します。

・目標設定

以下、何の断りもなしに変数  i を用いた場合、 i 1,\ 2,\ ...,\ n の値を動くものとします。
ここも前回とほとんど同じ内容なので、詳しい計算の過程は省きます。
 k = n,\ n + 1,\ ...,\ \sum_{i=1}^n g_i に対し、集合  I_k および組み合わせの総数  C_k をそれぞれ

 {
    \displaystyle
    I_k = \left\{ (x_1,\ x_2,\ ...,\ x_n) \in {\bf N}^n\ \middle|\ 1 \le x_i \le g_i\ (\forall i),\ \sum_{i=1}^n x_i = k \right\},
}
 {
    \displaystyle
    C_k = |I_k| =\sum_{i \in I_k} 1
}

で定義すれば、確率  P(X = k)

 {
    \displaystyle
    P(X = k) = \frac{C_k}{g_1 g_2 g_3 \cdots g_n}
}

と書けます。ただし、 {\bf N}自然数全体の集合です。

 g_i は既知の定数なので、 C_k k で表すことを目標とします。

なお、全確率が  1 となることも上の定義から確かめられます。

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「グリモア~私立グリモワール魔法学園~」のメダルチャレンジにおける確率分布 その1

お久しぶりです。ほげでございます。

スマートフォンのアプリゲーム「グリモア」では頻繁にイベントが開催されており、主な報酬の形としてランキング報酬の他にメダルチャレンジというものが存在します。
メダルチャレンジとは、イベント中で特定の条件を満たすと獲得できる「メダル」を一定数消費することで引くことのできるクジ引きシステムです。
以下、クジを引くことを抽選と呼ぶことにします。

メダルチャレンジの概要

メダルチャレンジには最大5つの"シート"(クジ引き箱に相当する)が存在し、各シートに多数のアイテム(クジ)が入っています。
1回の抽選で獲得できるアイテムは1つで、獲得したアイテムはそのシートから消滅します。すなわち、100個のアイテムが存在するシートでは最大100回の抽選をすることができます。以下、 n 番目のシートをシート  n と表記します。

1回目の抽選ではシート  1 からしか引くことが出来ません。
しかし、各シートには "当たり" アイテムが唯1つ存在し、シート  1 における抽選で当たりアイテムを獲得すると、抽選するシートを任意のタイミングでシート  2 へ切り替えることが可能になります。
この際、シート  1 で抽選し続けることもできますが、シート  1 のアイテムが無くなり次第、自動的に抽選はシート  2 へ切り替わります。

同様に、シート  2 において唯一の当たりアイテムを獲得するかアイテムを引き切ると、シート  3 への移行が可能になります。
なお、最終シートの当たりアイテムを獲得して移行を実行したとき、シート  1 へ戻ることはなく、再び全アイテムの復活した最終シートを引くことになります。

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