任意の周期数列を作る その3

目次

その1: 任意の周期数列を作る その1 - 冷水催眠
      周期  2,\ 3,\ 4,\ 6,\ 8

その2: 任意の周期数列を作る その2 - 冷水催眠
      周期  12,\ 3・2^m,\ 2^m

その3: ココ
      周期  m



前回までの記事、MathJax を使いまくってたせいでメチャクチャ重いページになっていたのに今更気づきました。次からは気をつけます!(修正するとは言っていない)


今までの話を一般化して、周期  m \hspace{10px} (m \ge 3) の周期数列  \{a_n\} の一般項を作ります。

 m 2 で割り切れるだけ割って奇数にし、その奇数個だけ独立な数列を作ってから  2 倍ずつ増やしていくという手順で作ります。

離散フーリエ変換しちゃえばいいじゃん!って声も聞こえてきそうですが、今回はそこをあえて他の方法で……っていう趣旨でやってます。

周期 m(奇数)


まずは  {a_n} の周期  m が奇数のときです。

周期  m の任意の数列を作るには一次独立な異なる数列が  m 個必要ですから、次の規則に従って  m 個の数列  f_m(n,\ 0) f_m(n,\ m-1) を作ります。


f:id:hge:20160318011215p:plain


すると、 \{a_n\} の一般項は係数  t_1 t_m を用いて次のように表せます。

 \displaystyle a_n = \sum_{k=1}^{m} {t_kf_m(n,\ k-1)}

係数  t_1 t_m は次の行列で与えられる実数です。

f:id:hge:20160318000929p:plain


 m が奇数のときに上の逆行列が存在することはどうしたら証明できるんでしょうかね・・・

 m=3 から  m=29 のときに逆行列を持つことは確認済みです。

 m が大きくなるごとに行列式の絶対値が増えていっているので恐らく大丈夫なはずです・・・・・・多分・・・・・・・・・(っ◞‸◟c)

続きを読む

任意の周期数列を作る その2

目次

その1: 任意の周期数列を作る その1 - 冷水催眠
      周期  2,\ 3,\ 4,\ 6,\ 8

その2: ココ
      周期  12,\ 3・2^m,\ 2^m

その3: 任意の周期数列を作る その3 - 冷水催眠
      周期  m


表記(再掲)

この記事では便宜的に数列とベクトルを同一視した書き方をします。

そしてベクトルとみなした数列を  = で繋ぎ、加減算・スカラー倍します。


 c_1,\ c_2,\ \ldots, c_m,\ c_1,\ c_2,\ \ldots, c_m,\ c_1,\ \ldots という周期  m の数列  \{a_n\} と、 m 次元ベクトル  (c_1,\ c_2,\ \ldots,\ c_m) を対応させ、 a_n=(c_1,\ c_2,\ \ldots,\ c_m) と便宜的に表記することにします。

あくまでもこの記事の中だけの表記です。

この数列の一般項が  f(n) のとき  (c_1,\ c_2,\ \ldots,\ c_m)=f(n) と書くことにします。

このとき  a_n=f(n) です。


例えば  a_1=1,\ a_2=2,\ a_3=3 であるような周期  3 の数列を

 \begin{align} \{a_n\} &= \{1,\ 2,\ 3,\ 1,\ 2,\ 3,\ 1,\ 2,\ 3,\ \ldots\} \\ a_n &= (1,\ 2,\ 3) \end{align}

と表記し、 b_n=(3,\ 4,\ 5) としたときに

 2a_n+b_n=2(1,\ 2,\ 3)+(3,\ 4,\ 5)=(5,\ 8,\ 11)

のような操作をします。

添え字  n は正の整数とします。


周期12

一般項の形がきれいじゃなくなってきた・・・・・・これ以上周期が長くなるときれいな一般項の独立な数列作るの無理ですよ~~~(涙)

あっ、そうだ(唐突)

ここからは周期  6 および周期  8 の数列を作るときに使った数列を用いて周期  3・2^m と周期  2^m の数列を作れるようにします。


まずは周期  3・2^2 = 12 の数列を作ることを考えます。


 {\bf R}^6 の基底を成していた6個の周期6の数列(に対応するベクトル)

 \begin{align}
    \displaystyle {a_n}' &= (1,\ 1,\ 1,\ 1,\ 1,\ 1) = 1 \\
    \displaystyle {b_n}' &= (-1,\ 1, -1,\ 1, -1,\ 1) = \cos{n\pi} \\
    \displaystyle {c_n}' &= (1, -1,\ 0,\ 1, -1,\ 0) = \frac{2\sqrt{3}}{3}\sin{\frac{2n\pi}{3}} \\
    \displaystyle {d_n}' &= (-1, -1,\ 2, -1, -1,\ 2) = 2\cos{\frac{2n\pi}{3}} \\
    \displaystyle {e_n}' &= (1,\ 1,\ 0, -1, -1,\ 0) = \frac{2\sqrt{3}}{3}\sin{\frac{n\pi}{3}} \\
    \displaystyle {f_n}' &= (1, -1, -2, -1,\ 1,\ 2) = 2\cos{\frac{n\pi}{3}}
\end{align}

をうまく使うと  {\bf R}^{12} の基底となるような周期12の数列12個を作ることができます。

続きを読む

任意の周期数列を作る その1

先日Twitterでこんなツイートをしました。

この一般項の作り方の話をします。

目次

その1: ココ
      周期  2,\ 3,\ 4,\ 6,\ 8

その2: 任意の周期数列を作る その2 - 冷水催眠
      周期  12,\ 3・2^m,\ 2^m

その3: 任意の周期数列を作る その3 - 冷水催眠
      周期  m

続きを読む

三乗根の二重根号を外す

三乗根の二重根号を外すことになったことはありませんか?

実は大きい数の二重根号を外すのはとても面倒なのです。なるべく簡単に外したいものです。*1


この記事では,一番よく目にする(と思われる) \sqrt[3]{a+b\sqrt{c}} の形の二重根号を外すことを考えてみます。

*1:ここでいう"簡単に"とは,なるべく大きい数字を扱わずにという程度の意味で使っています。

続きを読む