Twitterに投下した問題の解答

・問題 (20180731)

・解答

 {
\begin{equation*}
    \left\{
        \begin{alignedat}{1}
            & \,\ y = \sqrt{3} x - 1 - \sqrt{3}, \\
            & \,\ y = -\frac{\sqrt{3}}{3} x + \frac{9 - 3 \sqrt{3}}{9}, \\
            & \,\ y = -\frac{24 + 13 \sqrt{3}}{23} x + \frac{47 - 8 \sqrt{2} + 13 \sqrt{3} - 12 \sqrt{6}}{23}, \\
            & \,\ y = -\frac{24 + 13 \sqrt{3}}{23} x + \frac{47 + 8 \sqrt{2} + 13 \sqrt{3} + 12 \sqrt{6}}{23}.
        \end{alignedat}
    \right.
\end{equation*}
}
上の2つが共通内接線,下2つが共通外接線です。

問題文の前者の楕円の対称の中心は点  (1, 1) であり,長軸と  x 軸はちょうど  30^\circ の角をなしています。問題文の2つの楕円をそれぞれ  x 軸方向に  -1 y 軸方向に  -1 平行移動したあと原点を中心にして反時計回りに  30^\circ 回転させ,さらに  y 軸方向に  3/2 倍に拡大すれば,2つの楕円は円  x^2 + y^2 = 1 と楕円  4x^2 + 6xy + 4y^2 - 6x + 6y + 11 = 0 にそれぞれ重なります。この円と楕円の共通接線は, x = 1,\ y = -1 および  x + y = \pm \sqrt{2} の4本です。


・問題 (20180220)

・解答

 \angle {\rm ABF} = 150^\circ.


・問題 (20171121)

・補足

この問題では  0/0=1 とします。

・解答

すみません……これ自力で解けないです……
 \{a_n\} の一般項が以下のようになることを示せばよいのですが……

 {
  \displaystyle
  a_n = \begin{cases}
    1 & (n=0,5,6,11,12,17, ...) \\
    0 & (n=1,4,7,10,13,16, ...) \\
    -1 & (n=2,3,8,9,14,15, ...) \\
  \end{cases}
}
この証明を出来る人がいましたら,ご教示頂けますと嬉しいです。

・追記 (2018年10月11日)

 (1-x+x^2)^{-1} の展開が  \sum_{n=0}^\infty \sum_{k=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} (-1)^k \binom{n - k}{k} x^n であることや,
 (1-x+x^2)^{-1} = 1 + x(1 - x)/(1 - x + x^2) であることなどから問題の等式が導かれます。そもそもこの問題は  (1-x+x^2)^{-1}マクローリン展開した際の  n 次の項の係数が  \sum_{k=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} (-1)^k \binom{n - k}{k} であることを発見したのがきっかけで作った問題でした(すっかり忘れてた)。詳しい話は時間があるときに追記するかもしれません。

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アシュリー

DTMに関しては初めての投稿です。
先日,といっても一ヶ月前ですが,新曲を音雲にアップしました。よかったら聴いてくださいね。


soundcloud.com

(MQubeはこっち → Spacer / ほげ | MQube


さわるメイドインワリオという任天堂のゲームがありますが,この曲はそのゲーム中のミニゲーム「アシュリー」のボスステージのBGMにインスピレーションを受けて作ったものです。その曲をリスペクトして,I→II♭→I→II♭→…… という進行を取り入れています。

キックのアタックの高音域をマシマシのマシにしたので,iPhoneのスピーカーで聴くとアタックがメチャ目立ってヤベェのです。イヤホンだと微妙。

なお,この曲はフリーダウンロードにしてあります。
音雲では「・・・ More」と書いてあるところから,MQubeではダウンロードボタンからDLできます。


ところで,2018年8月2日(記事投稿時点での今日!)にメイドインワリオの新作が3DSソフトで発売されるようでございますが、当方アシュリー様が大大大好きなので非常に嬉しい限りです。

アシュリー様がフルボイスでしゃべるよ!
みんな買ってね!


以上,露骨な宣伝でした。

桁落ちを回避できない複素数係数二次方程式

方程式の数値解を有効数字の限られたコンピュータで求める際,どうしても誤差はつきものです。

今回この記事では,複素数係数の二次方程式  a x^2 + b x + c = 0\ (a \neq 0) の数値解を解の公式を用いて求める際に,桁落ちを簡単に回避できない場合があるという話をします。

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ガロア体GF(2^2), GF(2^3), GF(2^4)の加算表

手計算の時短のために加算表(addition table)を作りました。ご活用ください。
なお,表に出てくる  \alpha は原始多項式  f の根です。
もし間違いがありましたら,容赦なく指摘してくださると助かります。

GF(22)の加算表

原始多項式として  f(x)=x^2+x+1 を用いた, GF(2) の2次拡大体  GF(2^2) における加算表です。

f:id:hge:20180311005905p:plain

  •  \alpha^2 = \alpha + 1
  •  \alpha^3 = 1
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